Si he entendido bien, una forma de obtener las componentes de un tensor métrico (tratándolo aquí como una matriz) es mirar el $ds$ intervalo. ¿No es ese intervalo siempre en términos de sumas de $dr^2+d\theta^2$ etc., lo que significa que el tensor métrico sólo tendrá valores no nulos para $x^ix^j$ cuando $i=j$ ?
Si no es así, ¿alguien puede dar un ejemplo?
Ser diagonal es un concepto que depende de las coordenadas: las componentes de la matriz asociada al tensor métrico dependen del sistema de coordenadas que se utilice. Así, un ejemplo muy sencillo de una métrica no diagonal es la métrica euclidiana estándar $\delta = dx^2 + dy^2$ en $\mathbb R^2$ en el sistema de coordenadas $(x,z) = (x, x+y)$ donde tiene la expresión de coordenadas $$\delta = dx^2 + d(z-x)^2 = 2dx^2 + dz^2 - 2 dx dz.$$
No, de hecho, hay algunas soluciones muy famosas que tienen métricas no diagonales. Como la Métrica de Kerr para un agujero negro en rotación en la relatividad general.
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