si $f$ y $g$ son suavemente homotópicas, entonces tienen algún valor regular común

Question

Estaba leyendo el libro de topología diferencial de Milnor. en la página 24 cuando se habla de la clase de homotopía y el grado mod 2, hay una afirmación:

Dejemos que $f,g:M\to N$ como mapa suave entre dos variedades suaves (donde $M$ es compacto y $N$ está conectado), suponemos que $f$ es suavemente homotópico a $g$ entonces existe un valor regular para ambos mapas $f$ y $g$ .

Puedo demostrar el siguiente resultado, que es el mapa dado $f$ si tiene un valor regular $p$ entonces existe un mapa en la clase de homotopía que puede ser cualquier valor regular.

Es decir, sabemos que, dado $p$ existe un difeomorfismo $F$ que puede cambiar $p\in N$ a cualquier $q\in N$ y $F$ isotopía suave a los mapas de identidad (que viene dada por el lema de homogeneidad).

por lo que $f\cong f$ (f homotopía suave a sí misma) también tenemos $F\cong id$ por lo que $f\cong F\circ f$ ahora el RHS $F \circ f$ tiene un valor regular $q$

No sé cómo utilizar el teorema de Sard aquí para demostrar dado $f,g$ existe un valor regular común.

Answer 1

Esto es cierto para cualquier dos $f,g$ . No es necesario el hecho de que sean homotópicos.

Dejemos que $M' = M + M$ sea la unión disjunta de dos copias de $M$ . Entonces $f, g$ induce un mapa suave $\phi : M' \to N$ tomando $f$ en el primer sumando y $g$ en el segundo.

El conjunto de valores regulares de $\phi$ no es vacía (es densa en $N$ ). Cualquier valor regular de $\phi$ es un valor regular común de $f,g$ .