(¿No?) Unicidad de las sumas de los cuadrados

Question

(No he tenido casi ninguna exposición a la teoría de números, así que por favor, mantén las respuestas lo más elementales posible).

Escriba $\mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}$ para los números naturales. Entonces cada elemento de $\mathbb{N}$ puede expresarse como una suma de cuadrados. Por ejemplo: $$6 = 1+1+1+1+1+1$$

Por lo general, podemos salirnos con la suya con menos términos en nuestra suma. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, podemos reducir de 6 términos a 3 escribiendo $6 = 4+1+1.$ Así que por el potencia de $n \in \mathbb{N}$ , signifiquemos lo más mínimo $k \in \mathbb{N}$ tal que $n$ puede expresarse como una suma de $k$ -muchas plazas. De ahí la potencia de $6$ es $3.$

Pregunta. Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ denotan un número natural con potencia $k$ . Supongamos que $x$ y $y$ son secuencias de longitud $k$ en $\mathbb{N}$ tal que $$n=\sum_{j = 1}^k x_j^2 = \sum_{j = 1}^k y_j^2.$$

¿Son las secuencias $x$ y $y$ ¿equivale necesariamente a una reordenación de sus términos?

Supongo que no, pero no he podido encontrar un contraejemplo.

Más información.

• Si $n$ es un primo de la potencia $2$ entonces las secuencias $x$ y $y$ son iguales hasta la reordenación; véase aquí .

• Aquí aprendemos que la afirmación correspondiente para las potencias superiores es falsa, ya que $1^3+5^3+5^3=2^3+3^3+6^3.$

Answer 1

Hay muchos contraejemplos, de los cuales el más pequeño es $$5^2 + 5^2 = 7^2 + 1^2.$$

(Antes dije que $25$ era el contraejemplo más pequeño, ya que $3^2+4^2 = 0^2+5^2$ pero en su terminología, tiene una potencia de 1, no de 2, por lo que no es un contraejemplo).

La identidad de Brahmagupta muestra que si $x$ y $y$ son cada una expresable como una suma de dos cuadrados, entonces $xy$ es (casi siempre) expresable como suma de dos cuadrados de más de una manera, porque $$\begin{align} (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) & = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 \\ &= (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 \end{align}$$

El contraejemplo de $50$ Lo que he dado más arriba lo ilustra, ya que $50 = 5\cdot 10 = (1^2+2^2)(1^2+3^2)$ se puede utilizar la identidad de Brahmagupta para encontrar muchos contraejemplos similares como $(1^2+2^2)\cdot (2^2+3^2) = 1^2+8^2 = 4^2+7^2, $ etc. Repitiendo este proceso, se pueden encontrar números como $50\cdot 65 = 1^2 + 57^2 = 15^2+55^2 = 21^2 + 53^2 = 35^2 + 45^2 $ que tienen una potencia de $2$ y son expresables como $a^2+b^2$ de forma arbitraria.

Como señala André Nicolas, Lagrange demostró que todo número entero positivo tiene una potencia de a lo sumo 4; el ejemplo de $7$ muestra que este límite se alcanza. El número 28 es el número más pequeño con una potencia de 4 que se puede expresar como una suma de cuatro cuadrados positivos de múltiples maneras:

$$\begin{align} 28 & = 5^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 \\ & = 3^2 + 3^2 + 3^2 + 1^2 \\ & = 4^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 \end{align}$$

Otros pequeños ejemplos son $31, 39, 47, 55, 60, $ y $63$ , que es una suma de cuatro cuadrados positivos de cuatro formas.

Answer 2

Para ampliar algunos de los otros comentarios:

Cualquier número puede escribirse como una suma de $4$ cuadrados. De hecho, el número de formas de escribir el número $n$ como una suma de $4$ cuadrados (más precisamente, el número de tuplas $(x,y,z,w)\in \mathbb{Z}^4$ con $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = n$ ) es $$8\sum_{d\mid n,\, 4\not\mid d}d$$ (No conozco una buena referencia para este hecho, ni una demostración que no utilice formas modulares, por desgracia).

Ahora bien, hay que tener en cuenta que estos números tienden a ser mucho más grandes de lo que serían si todas esas formas fueran reordenamientos de cada una de ellas (la suma anterior tiende a crecer con $n$ y hay infinitos números que no son la suma de $3$ cuadrados).