El cálculo funcional es continuo en los elementos del álgebra.

Question

Supongamos que $A$ es un álgebra C*, $a$ es un elemento hermitiano de $A$ . Para cada función continua $f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{C}$ decimos que $f$ es continua en $A$ si para cada secuencia $\{a_\lambda\}$ de elementos positivos en $A$ convergiendo a $a$ , $f(a_\lambda)\to f(a)$ .

La afirmación "toda función continua $f:\mathbb{R}_+\to \mathbb{C}$ es continua en $A$ "Parece que está mal, pero quiero saber el caso de la función raíz cuadrada $x\to \sqrt{x}$ . De hecho, quiero saber si $A\to A, a\mapsto |a|$ es continua.

¿Alguien lo sabe?

Answer 1

La afirmación es válida en general. El hecho clave es que si $a_\lambda$ está lo suficientemente cerca de $a$ y también su norma. Así, podemos suponer que todos los espectros están contenidos en un intervalo fijo $[0,r]$ .

Entonces podemos aproximar $f$ uniformemente: dado $\varepsilon>0$ existe un polinomio $p$ con $\|f-p\|<\varepsilon$ . Entonces \begin{align} \|f(a_\lambda)-f(a)\|&\leq \|f(a_\lambda)-p(a_\lambda)\|+\|p(a_\lambda)-p(a)\|+\|p(a)-f(a)\|\\ \ \\ &\leq \varepsilon+ \|p(a_\lambda)-p(a)\|\\ \ \\ &\leq 2 \varepsilon +\|p(a_\lambda)-p(a)\|. \end{align} Con $p$ fijada, obtenemos $$ \limsup\|f(a_\lambda)-f(a)\|\leq 2\varepsilon. $$ Como $\varepsilon$ fue arbitraria y $r$ se fijó, el limsup es cero, por lo que el límite existe y es cero: $$ \lim_\lambda \|f(a_\lambda)-f(a)\|=0. $$