Multiplicación aleatoria y número de Euler

Question

Estaba jugando con generadores de números aleatorios y escribí un programa para comenzar con un número aleatorio entre 0 y a y multiplicar el término n por un número aleatorio entre 0 y a para alcanzar el término n +1 (utilizando una distribución uniforme para determinar los números aleatorios). Mediante un experimento de hasta 500.000 términos, parece que cuando a está por debajo de e , como n se acerca al infinito, el término n se acercará casi seguramente a 0, y cuando a está por encima de e , término n casi seguramente se acercará al infinito. ¿Es esto correcto? Si es así, me interesaría ver una prueba.

Answer 1

Creo que tienes razón.

Dejemos que $X_i \sim U(0, a)$ y que $M_n = \prod_{i=1}^n X_i$ . Podemos escribir $$M_n = a^n \prod_{i=1}^n \frac{X_i}{a}$$ lo que implica que \begin{align*} -\log(M_n) &= -n \log(a) + \sum_{i=1}^{n} \left[-\log \left(\frac{X_i}{a} \right) \right] \\ &=n \left(-\log(a) + \frac{\sum_{i=1}^n \left[-\log \left(\frac{X_i}{a} \right) \right]}{n} \right) \end{align*} o que $$\frac{-\log(M_n)}{n} = -\log(a) + \frac{\sum_{i=1}^n \left[-\log \left(\frac{X_i}{a} \right) \right]}{n}.$$ Observamos que $\frac{X_i}{a} \sim U(0, 1)$ De ahí que $-\log(X_i/a) \sim \operatorname{Exp}(1)$ (ver aquí para una prueba, por ejemplo). Así, la ley fuerte de los grandes números nos dice que la fracción del extremo derecho converge a $1$ casi seguro, y por lo tanto, $$\frac{-\log(M_n)}{n} \to 1 - \log(a)$$ con probabilidad 1. A partir de aquí, podemos dividir esto en casos basados en lo que $\log(a)$ es. Si $\log(a) > 1$ ${(\Leftrightarrow a > e)}$ entonces la expresión de la derecha es negativa, lo que implica que $\log(M_n)$ se desvía hacia $\infty$ casi seguro, y por lo tanto $M_n \to \infty$ . Por el contrario, si $\log(a) < 1$ entonces $\log(M_n)$ debe divergir a $-\infty$ y por lo tanto $M_n \to 0$ casi seguro.