por qué utilizar $A = \cap_{i=1}^{\infty} E_i ,E_{i+1} \subset E_{i}$ en lugar de $A=\lim_{i\to\infty}E_i$ .

Question

En el análisis real, ¿por qué utilizar $A = \cap_{i=1}^{\infty} E_i ,E_{i+1} \subset E_{i}$ en lugar de $A=\lim_{i\to\infty}E_i$ ¿Son las mismas cosas?

¿Es porque preferimos utilizar los límites en los Números reales en lugar de en los conjuntos?

Answer 1

El problema es que para definir un límite se necesita una topología. ¿Qué topología utilizarías para definir $A=\lim_{i\to\infty}E_i$ ? O más generalmente, ¿cómo definiría este límite?

Al final, una definición del límite en este caso es... $ \cap_{i=1}^{\infty} E_i$ .

Answer 2

Si $(E_i)$ es una secuencia creciente, entonces $\lim_{i\to\infty}E_i= \bigcup_{i=1}^{\infty}E_i$ .

Ver: https://en.wikipedia.org/wiki/Set-theoretic_limit

Answer 3

No son lo mismo. La condición que escribes implica la existencia del límite. Pero lo contrario no es cierto. El límite puede existir, por ejemplo, también si tienes una secuencia de conjuntos creciente.