¿Cómo puedo demostrar que un número $p>2$ es primo si y sólo si $(p-1)! \equiv -1 \pmod {p}$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que un número $p\geq2$ es primo si y sólo si $(p-1)! \equiv -1 \pmod {p}$ ?

Realmente no sé por dónde empezar... ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Si $p$ es primo, entonces para cualquier $x$ no divisible por $p$ existe $y$ tal que $xy\equiv 1\pmod{p}$ (esto se deduce de la existencia de $y$ y $z$ enteros tales que $xy + pz = 1$ , como $x$ y $p$ son coprimos. En particular, existe tal número para cada $n\in\{1,2,\dots, p-1\}$ . Este número también es único módulo $p$ y el único caso en el que $x^2\equiv 1\pmod{p}$ es cuando $x\equiv 1$ o $x\equiv p-1$ , como los residuos modulo $p$ forman un campo y un polinomio de grado $n$ sobre un campo puede tener como máximo $n$ soluciones sobre el terreno. Así, cada $n\in\{2,\dots, p-2\}$ aparece una vez en el factorial y se emparejará con su inverso para dar $(p-1)!\equiv (p-1)\cdot 1\cdot 1\cdot\dots\cdot 1\equiv -1\pmod{p}$ .

Si $n$ no es primo, entonces existe $r\mid n$ (decir $rk = n$ ) tal que $1 <r\leq n-1$ (por lo tanto $1 < k\leq n-1$ ), por lo que $(n-1)!k\equiv 0\pmod{n}$ Pero $k$ es a la vez distinto de cero módulo $n$ Así que $(n-1)!$ no podría haber sido $-1$ modulo $n$ .