Encontrar el número de ceros de $\sin \pi x$ en un dominio $D=\{|z-3-4i|<6\}$ .

Question

Voy a hacer el examen escrito de análisis complejo en una semana.

Entre los problemas de muestra he encontrado el siguiente:

Encuentre $\lim \limits_{n \to \infty}N_{P_n}(D)$ donde $N$ es el número de ceros de $P_n$ en un dominio, $D=\{|z-3-4i|<6\}$ y $$P_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{(\pi z)^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

Actualización: como han señalado Wauzl y Arnaud D. $\lim \limits_{n \to \infty}N_{P_n}(D)$ es de hecho $\sin \pi x$ . He comprobado otras muestras, y de hecho todas tienen la forma $\sin ax$ o $\cos ax$ o $e^{ax}$ . Así que tengo que ser capaz de encontrar número de ceros de estas funciones en $D$ .

Ahora supongo que tengo que usar Teorema_de_Rouché . $P$ es en realidad suma de exponentes. Desgraciadamente, no veo cómo aplicar el teorema aquí ya que $\sin \pi x$ no tiene ninguna parte polinómica.

¿Alguna idea?

Muchas gracias por la ayuda y los consejos.

Answer 1

Observe que $\sin(\pi x)$ sólo tiene ceros cuando $x$ es un número entero real ( fuente ), por lo que sólo tienes que averiguar cuántos enteros reales hay en el disco abierto que has mencionado.

Del mismo modo, para $\cos(\pi x)$ tienen un cero sólo cuando $x+\frac12$ es un número entero, por lo que hay que comprobar cuántos hay en el disco.

Para $e^{ax}$ Sólo hay que notar que la función exponencial no tiene ningún cero.

Ahora hay un escollo potencial en que los polinomios, que se usan para aproximar las funciones, siempre tienen algunas raíces. Sin embargo, cuando se aproxima, por ejemplo, la función exponencial con series de Taylor, las raíces se alejan cada vez más del origen en cada iteración, por lo que después de un cierto número de iteraciones, el polinomio estará lo suficientemente cerca de la función exponencial como para que realmente no haya raíces en el disco $D$ .