Expectativa condicional: Calcular la varianza

Question

Un ratón está atrapado en un laberinto. Inicialmente, puede ir a la derecha o a la izquierda. Si va a la izquierda, caminará durante 3 minutos y volverá a la posición inicial. Si va a la derecha, con probabilidad $1/3$ saldrá del laberinto después de 2 minutos de recorrido, y con probabilidad $2/3$ volverá a la posición inicial después de 5 minutos. Suponiendo que el ratón elige aleatoriamente la izquierda o la derecha, encuentra la varianza del tiempo que permanece en el laberinto.

Mi intento

Usando eso $$E[X]=E[E[X|Y]]$$

Si $X$ representa el tiempo que el ratón permanece en el laberinto y $Y$ la puerta elegida, pude encontrar el tiempo esperado que permanece en el laberinto. Pero no pude encontrar la forma de utilizarlo para evaluar $E[X^2]$ . ¿Alguna sugerencia?

Gracias.

@Editar : $$E[X]=E[E[X|Y]] = \frac{1}{2}E[X|Y=right]+\frac{1}{2}E[X|Y=left]$$

NOTA QUE:

$E[X|left]=3+E[X]$

$E[X|right]=1/3(2)+2/3(5+E[X])$

Answer 1

Considere el destino del ratón después de su primer ciclo. El resultado del primer ciclo es $L$ (fue a la izquierda y volvió) con probabilidad $\frac12$ , $O$ (fue a la derecha y salió) con probabilidad $\frac16$ o $R$ (fue a la derecha y volvió) con probabilidad $\frac13$ . Así, $$X=(3+X')\mathbf 1_L+2\mathbf 1_O+(5+X')\mathbf 1_R,$$ donde $X'$ se distribuye como $X$ e independiente de $(L,O,R)$ . Tomando las expectativas se obtiene $$E(X)=(3+E(X))P(L)+2P(O)+(5+E(X))P(R),$$ a partir de la cual, ya que $P(L)=3P(O)$ y $P(R)=2P(O)$ se deduce que $$E(X)=\frac{3P(L)+2P(O)+5P(R)}{P(O)}=3\cdot3+2+5\cdot2=21.$$ Igualmente, $$X^2=(3+X')^2\mathbf 1_L+4\mathbf 1_O+(5+X')^2\mathbf 1_R,$$ por lo que $$E(X^2)=E((3+X)^2)P(L)+4P(O)+E((5+X)^2)P(R),$$ de la cual... podría desear seguir.