Cálculo de la segunda forma fundamental sin trazos

Question

La parte sin trazos de la segunda forma fundamental es $$ \mathring A = A -\frac{H}{n}g $$ donde $A$ es la segunda forma fundamental, $H$ es la curvatura media, $g$ es métrica. El cuadrado de la norma es $$ |\mathring A|^2 = |A|^2-\frac{1}{n}H^2. $$ Quiero verificarlo. Lo que hago: \begin{align} |\mathring A|^2 &=g^{ij}g^{kl}\mathring A_{ik}\mathring A_{jl} \\ &=g^{ij}g^{kl}(A_{ik} -\frac{H}{n}g_{ik})(A_{jl} -\frac{H}{n}g_{jl}) \\ &=g^{ij}g^{kl} (A_{ik}A_{jl}-\frac{H}{n}g_{ik}A_{jl} -\frac{H}{n}g_{jl}A_{ik} +(\frac{H}{n})^2g_{ik}g_{jl}) \\ &=|A|^2 -\frac{2H}{n}g^{ij}A_{ij} + (\frac{H}{n})^2\delta_k^j\delta_j^k \end{align} Entonces, no sé cómo tratarla. Sin embargo, no puedo pensar por qué $\delta_k^j\delta_j^k =n$ y lo que es $g^{ij}A_{ij}$ .

Answer 1

$H$ es por definición la traza de $A$ con respecto a $g$ es decir $g^{ij} A_{ij}.$ La contracción $\delta^j_k \delta^k_j$ es igual a $n$ porque se reduce a $\delta^j_j,$ que no es más que la huella del $n \times n$ matriz de identidad.