Representación de la transformación lineal de matrices

Question

La transformación de cualquier matriz $A$ que cambia dos filas (o dos columnas) en $A$ puede representarse como un producto entre $A$ y una matriz de transformación.

La pregunta es ¿qué tipo de transformaciones lineales entre (espacios lineales de) matrices pueden representarse de forma similar? En particular, ¿cuál es la respuesta para la transposición de matrices y para la rotación de matrices ( $90$ grados en sentido contrario a las agujas del reloj)?

Además, cualquier buena referencia sobre el tema es bienvenida.

[Supongo que tiene que ver con la dimensión del núcleo de la transformación... pero esto es una forma de decir que claramente necesito ayuda, ya que mi álgebra lineal está un poco oxidada]

Answer 1

El corolario de la página 20 de Álgebra lineal por Hoffman y Kunze responde parcialmente a tu primera pregunta: Dejemos que $A$ y $B$ sea $m \times n$ matrices sobre un campo $\Bbb F.$ Entonces $B$ es equivalente en fila a $A$ si y sólo si $B = PA,$ donde $P$ es un producto de $m \times m$ matrices elementales. Obtenemos la respuesta completa si permitimos que algunas filas de $P$ sea cero: Los tipos de transformaciones lineales que pueden representarse mediante la multiplicación por la izquierda son aquellos tales que $B$ es equivalente en fila a $A$ pero posiblemente con algunas filas cero en $B.$ La multiplicación por la derecha da un resultado análogo para las columnas.

Las matrices transpuestas no son necesariamente equivalentes en fila, por lo que no existe tal matriz (pero véase https://math.stackexchange.com/q/1143642 ).

Rotación de un vector en sentido contrario a las agujas del reloj en $\Bbb R^2$ por el ángulo $\theta$ viene dada por la multiplicación por la izquierda de $$\begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta\end{bmatrix}.$$ Para $\theta = 90^\circ,$ la matriz es $$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{bmatrix}.$$

En $\Bbb R^3,$ véase la ecuación (20) en "Matrices de rotación tridimensionales".