Ecuación de un plano que pasa por una recta y un punto

Question

Escribe la ecuación del plano que pasa por la línea de intersección de los planos $P_1:x-2y+3z=0$ y $P_2: 2x+z-3=0$ y a través del punto M(-1,2,6)

Tomo los dos planos y trato de encontrar las ecuaciones paramétricas de la línea en la que se cruzan. Obtengo: $$x=\frac{-2t-9}{5}\:;y=t\:;z=\frac{4t-3}{5}$$ Luego sustituyo t = 0 y t =1 para obtener otros dos puntos que están en la recta. Obtengo $A\left(-\frac{9}{5},\:0,\:-\frac{3}{5}\right);B\left(-\frac{11}{5},1,\frac{1}{5}\right)$ . Luego formaré los vectores MA y MB y haré MA x MB para obtener el vector normal. El resultado que obtengo es $5i+\frac{82}{25}j-\frac{8}{5}k$ . Entonces introduzco el punto M en la ecuación del vector normal y obtengo $125x+82y-40z+201 = 0$ como la ecuación del plano, lo cual es definitivamente incorrecto, ya que mi clave de respuestas dice que es un resultado diferente.

¿Qué estoy haciendo mal? Soy nuevo en esto...

Answer 1

Tienes un error de signo en la ecuación de la línea que es: $$ (x,y,z)=\left(\frac{9-2t}{5},t,\frac{4t-3}{5} \right) $$

Alguna sugerencia:

1)su elección para $t$ no es la mejor. Es más sencillo $z=t$ .

2) Puedes encontrar el vector director de la línea común como el producto cruzado del vector normal de los dos planos: $(1,-2,3)^T \times (2,0,1)^T$ y utilizar un punto común de los dos planos para encontrar la ecuación de la recta común.

3) Para encontrar el plano final no es necesario conocer la ecuación de la recta común. Puedes encontrar dos puntos comunes de los dos planos de una manera más sencilla. Elige algún valor para una de las variables, por ejemplo $x=0$ Desde el segundo plano se tiene $z=3$ y desde el primero se encuentra $y=9/2$ Así que $A=(0,9/2,3)$ es un punto común. Haga lo mismo para $z=-1$ y encuentras $x=2$ y $y=-1/2$ por lo que otro punto común es $B=(2,-1/2,-1)$ . Ahora, con el punto dado $M$ tienes tres puntos y puedes encontrar la ecuación del plano.