Evaluar $\int_{0}^{a} x^3 (ax-x^2)^{\frac 32} dx$

Question

La integral puede escribirse como $$\begin{align} \int_0^a (a-x)^3 (ax-x^2)^{\frac 32} dx &=\int_0^a (a-x)^3 x^{\frac 32} (a-x)^{\frac 32} dx\\ &=\int_0^a (a-x)^{\frac 92} x^{\frac 32} dx \end{align}$$

¿Cómo puedo seguir resolviendo?

Answer 1

Una pista:

Poner $x=az, dx=a\ dz$ para llegar a Beta función

Como alternativa, establezca $x=a\sin^2t$ para llegar a este $$B(m+1,n+1)=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}$$