Cómo demostrar que $|\ln(2+\sin(x)) - \ln(2+\sin(y))| <= |x-y| \space \forall \space x,y \in \mathbb R$

Question

La pregunta es

Demostrar que para todos los $x$ y $y$ $\in R$ la siguiente desigualdad es verdadera:

$\lvert \ln(2+\sin(x)) - \ln(2+\sin(y))\rvert \le \lvert x-y\rvert$

he llegado al punto de que

$\frac{y-x}{2+\sin(c)} = \ln\frac{2+\sin(y)}{2+\sin(x)}$ (y-x dividido por 2+sin(c) es mi f dash c del teorema del valor medio

Le pedí a mi profesor que utilizara el teorema del valor medio aquí, así que por favor no utilicen nada más que esto, pero no tengo idea de cómo impulsar este problema.

También este es mi primer post así que lo siento por lo del guion f (c), mathjax es difícil

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\log(2+\sin x)$ . Entonces $f'(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}$ . Por lo tanto, si $x,y\in\mathbb R$ y $x\neq y$ entonces $$\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{\cos c}{2+\sin c}$$ para algunos $c$ entre $x$ y $y$ y por lo tanto $$\left|\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\right|=\left|\frac{\cos c}{2+\sin c}\right|\leqslant\frac{|\cos c|}{2-|\sin c|}\leqslant1.$$

Answer 2

He pensado que podría ser instructivo presentar un camino a seguir que sólo se basa en herramientas elementales de pre-cálculo. Para ello, procedemos.

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En primer lugar, hay que tener en cuenta que $\log(2+\sin(x))-\log(2+\sin(y))=\log\left(\frac{2+\sin(x)}{2+\sin(y)}\right)$ .

Ahora, en ESTA RESPUESTA En el caso de la función logarítmica, demostré utilizando sólo la definición de límite de la función exponencial y la desigualdad de Bernoulli que la función logarítmica satisface las igualdades

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{t-1}{t}\le \log(t)\le t-1}$$

para todos $t>0$ . Por lo tanto, con $t=\frac{2+\sin(x)}{2+\sin(y)}$ tenemos

$$\frac{\sin(x)-\sin(y)}{2+\sin(x)}\le \log(2+\sin(x))-\log(2+\sin(y))\le \frac{\sin(x)-\sin(y)}{2+\sin(y)}\tag1$$

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Es evidente que $(1)$ que

$$\left|\log(2+\sin(x))-\log(2+\sin(y))\right|\le |\sin(x)-\sin(y)|\tag2$$

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A continuación, utilizando el Identidad de la prótesis , $\sin(x)-\sin(y)=2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$ junto con $|\cos(\theta)|\le 1$ y $|\sin(\theta)|\le \theta$ revela

$$|\sin(x)-\sin(y)|\le |x-y|\tag 3$$

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Por último, utilizando $(3)$ en $(2)$ obtenemos la codiciada desigualdad

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\left|\log(2+\sin(x))-\log(2+\sin(y))\right|\le |x-y|}$$

Answer 3

Dejemos que $f (t)=\ln (2+\sin (t)) $ .

$f $ es diferenciable en $\Bbb R, $ así

por MVT, para $x <y,$

$$f (x)-f (y)=(x-y)f'(c) $$

con $x <c <y $ y

$$f'(c)=\frac {\cos (c)}{2+\sin (c)} $$

observe que $$\frac {1}{1+(1+\sin (c))}\le 1$$

que da $$|f'(c)|\le |\cos (c)|\le 1$$ y $$|f (x)-f (y)|=|x-y||f'(c)|\le |x-y|$$

Answer 4

Dejemos que $f(x)=log(2-sin(x))$ que sí es continua y diferenciable en $\mathbb{R}$ .

Tenga en cuenta que $f'(x)=\frac{cos(x)}{2 + sin(x)}$ ,

y es fácil demostrar que $-1\leqslant f'(x)\leqslant 1$ . (ya que $-1\leqslant cos(x),sin(x)\leqslant 1$ )

Por el teorema del valor medio, para $x,y\in \mathbb{R}$ ,

$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f'(z)$ para algunos $z\in(x,y)$ ,

así $-1\leqslant \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\leqslant 1$ ,

y $|\frac{f(x)-f(y)}{x-y}|\leqslant 1$ ,

finalmente, $|{f(x)-f(y)}|\leqslant |{x-y}|$ .