Definición de la validez de la igualdad cuando existe una ecuación con dos variables

Question

¿Cuáles son los pasos correctos a la hora de definir para qué valores de $y$ y $x$ ¿una igualdad es correcta?

Por ejemplo, $(xy)^3 = xy^3$

Answer 1

Por conmutatividad tenemos $(xy)^3=xyxyxy=x^3y^3$ así que reescribe esto como $x^3y^3=xy^3$ . Reste el lado derecho para obtener $x^3y-xy=0$ y el factor como $x(x+1)(x-1)y=0$ , lo que implica $x\in\{0,\pm1\}$ o que $y=0$ . El protocolo general en estas situaciones es mover todo a un lado para que la ecuación sea de la forma $\text{blah}=0$ y luego factorizar y utilizar el hecho de que $ab=0$ si y sólo si $a$ o $b=0$ .

(Técnicamente esta última propiedad no se cumple necesariamente si no estamos hablando de números reales o complejos. Por ejemplo, las matrices).