Cómo probar que un toro tiene el mismo volumen de un cilindro (con la altura igual a la del toro' perímetro)

Question

Quiero encontrar el volumen de un toro con un espesor determinado y un radio determinado.

Vamos a r el radio de un círculo con su punto medio en $M(0|b)$ ($b \geq r$). Ahora quiero girar este círculo sobre el eje de las x, es decir, sobre una trayectoria circular que tiene la longitud de $2 \pi \cdot |b|$. Así que pensé en simplemente integrar:

$V = \int\limits_0^{2 \pi \cdot |b|} \pi r^2 dz = 2 \pi \cdot r^2 \cdot |b|$, que resulta ser el resultado correcto.

Sin embargo, no me parece trivial de que el volumen de este toro es el mismo que el volumen de un cilindro con la correspondiente altura. He leído el artículo en la Wikipedia sobre el toro y me dijo que esto era debido a Cavalieri del teorema, que a mi parecer no tiene mucho que ver con el toro vs el cilindro...

¿Hay alguna manera fácil de probar que un toro tiene el mismo volumen de un cilindro con una altura igual a la de toro' perímetro?

Answer 1

(i) cortar el toro en cerca de un millón de discos.
(ii) Rotan cada segundo disco a través de $180^\circ$.
(iii) se Adhieren a todos juntos de nuevo.
Usted obtener cerca de un cilindro cuya altura es de casi el $2\pi b$. Ahora vamos a un millón tienden a infinito.

Answer 2

El uso del teorema de Cavalieri, se encontraba el toro y el cilindro en una tabla y cortar con planos paralelos a la mesa. A continuación, basta para mostrar que el toro rodajas (anillos) tiene la misma área que el cilindro rodajas (rectángulos).

A la altura de la $h$ (medido desde el centro del toro o de cilindro), el anillo tiene interior y exterior de los radios $$R_\pm = |b| \pm \sqrt{r^2-h^2},$$ so its area is $$A_1 = \pi R_+^2 - \pi R_-^2 = \pi(R_+ + R_-)(R_+ - R_-) = \pi \cdot 2|b| \cdot 2\sqrt{r^2-h^2}.$$ The rectangle has width $2\sqrt{r^2-h^2}$ and length $2\pi |b|$, so its area is $$A_2 = 2\sqrt{r^2-h^2} \cdot 2\pi|b|.$$ Las áreas son iguales, así que hemos terminado!

Yo prefiero Vilano el centroide de teorema, aunque...

Answer 3

Tal vez no entiendo la pregunta, pero si usted tiene un cilindro, se puede imaginar de flexión, de modo que la parte superior e inferior están conectados. Entonces usted tiene un toro.