Propiedades que se mantienen en casi todas partes

Question

Dejemos que $(X,\mathcal{A},\mu)$ sea un espacio de medidas y $u$ alguna función medible. Si $v$ es una función y $u=v$ a.e.; cuando es cierto decir que $v$ ¿es medible?

También dejemos que P sea alguna propiedad, y $f$ & $g$ funciones medibles y que la propiedad P se mantiene para $f$ a.e.. Si $f=g$ a.e.; cuando es cierto (si es que alguna vez lo es) decir que P se mantiene para $g$ ¿a.e.?

Se agradece cualquier comentario sobre estas dos cuestiones. Gracias

Answer 1

Igualdad $u=v$ a.e. significa que $v$ es igual a $u$ fuera de un conjunto de medida cero, un conjunto nulo. Para $v$ para ser medible se necesita no sólo que este conjunto nulo sea medible, sino también cualquiera de sus subconjuntos. Pueden no serlo, y entonces $v$ puede no ser medible. Por ejemplo, tomemos $u=0$ en todas partes, y $v=0$ en todas partes excepto en un subconjunto no medible de un conjunto nulo, donde $v=1$ . Entonces $u=v$ fuera de un conjunto nulo, pero $v$ no es medible.

Sin embargo, el original $\sigma$ -Álgebra $\mathcal{A}$ y la medida $\mu$ siempre puede ser completado mediante la unión de subconjuntos de conjuntos nulos y la asignación de la medida $0$ a ellos. Función $v$ se hace medible en la finalización.

Su segunda afirmación es correcta suponiendo que $f$ y $g$ son medibles. Que $f$ tiene propiedad $P$ a.e. significa que lo tiene fuera de un conjunto nulo, y $f=g$ a.e. significa $g$ es igual a $f$ fuera de otro conjunto nulo, por lo que $g$ tiene $P$ fuera de la unión de esos dos conjuntos nulos, que también es un conjunto nulo.

Sin embargo, hay que tener cuidado con el significado de "propiedad" aquí, por encima de " $f$ tiene $P$ a.e." significa " $f(x)$ tiene $P$ para $x$ fuera de un conjunto nulo". Ser positivo es un ejemplo de $P$ que funciona. Ser continuo o suave, en cambio, no es una propiedad de este tipo. La diferencia clave es que la suavidad y la continuidad en $x$ puede modificarse sin cambiar el valor en $x$ dependen del comportamiento de $f$ en múltiples puntos a su alrededor.

Los espacios de Lebesgue como $L^1$ están diseñadas para hacer frente a estas propiedades. Técnicamente, sus elementos no son funciones, sino clases de equivalencia de funciones hasta la igualdad en casi todas partes. Cuando alguien dice que un $L^1$ la función es continua a.e. por ejemplo, quieren decir que la clase de funciones igual a $f$ a.e. tiene un representante a.e. continuo.