Diferencia entre "uniformemente continuo en $\Omega$ " y "uniformemente continua en todos los subconjuntos acotados de $\Omega$ "

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Definir $$ X:=\{f:\Omega\to\mathbb{R}\mid f\textrm{ is bounded and uniformly continuous on $ \N -Omega $}\}. $$ y $$ Y:=\{f:\Omega\to\mathbb{R}\mid f\textrm{ is uniformly continuous on all bounded subsets of $ \N -Omega $}\}. $$

Cuando $\Omega$ está acotado, se puede ver que $X=Y$ . Cuando $\Omega$ no tiene límites, es evidente que $X\subset Y$ . Aquí está mi pregunta :

Cuando $\Omega$ no tiene límites, es $Y\subset X$ ¿también es cierto?

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[Añadido:] Gracias a la rápida respuesta, uno puede ver que $Y\subset X$ no es necesariamente cierto. Lo que realmente me desconcierta es la diferencia entre "uniformemente continuo en $\Omega$ " y "uniformemente continua en todos los subconjuntos acotados de $\Omega$ ". Dejemos que $$Y':=\{f:\Omega\to\mathbb{R}\mid f\textrm{ is bounded on $ \N -Omega $ and uniformly continuous on all bounded subsets of $ \N -Omega $}\}.$$ ¿Tenemos todavía un ejemplo para $Y'\setminus X$ ?

Answer 1

Dejemos que $n=1$ , $\Omega=\mathbb R$ . La función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dado por $f(x)=x$ es claramente ilimitado, por lo que $f\notin X$ . Sin embargo, $f$ es uniformemente continua en subconjuntos acotados de $\mathbb R$ de hecho, es uniformemente continua en todo $\mathbb R$ porque $$ |x-y|<\epsilon\implies |f(x)-f(y)|=|x-y|<\epsilon. $$ Así, $f\in Y\setminus X$ .

Answer 2

Este es un ejemplo de una función en $Y' \setminus X$ .

Dejemos que $\Omega = \mathbb{R}$ . Entonces $x \mapsto \sin(x^2)$ es acotado, uniformemente continuo en cualquier subconjunto acotado de $\Omega$ y no es uniformemente continua en $\Omega$ . De hecho, si $f$ es continua e ilimitada, entonces $\sin \circ f \in Y' \setminus X$ .