¿Los tramos de las órbitas son disjuntos por pares?

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial, $A \in \operatorname{Aut}(V)$ . Entonces $k \mapsto A^k$ define una acción de grupo del grupo $\mathbb{Z}$ en el conjunto subyacente de $V$ . Las órbitas de la acción son disjuntas. Sea $\mathbb{Z}u \neq \mathbb{Z}v$ . ¿Se deduce que $\operatorname{span} \, \mathbb{Z}u \cap \operatorname{span} \, \mathbb{Z} v = 0$ ?

Edición: Me equivoqué y escribí $\neq$ en lugar de $=$ . Mis disculpas a @anon :(

Necesito una pista, no una respuesta completa (a no ser que la respuesta requiera matemáticas muy avanzadas).

Answer 1

Considere $V=U_1\oplus U_2$ y $A=A_1\oplus A_2$ con $u\in U_1\oplus 0$ y $v\in 0\oplus U_2$ (cada uno distinto de cero).

Bien, para la pregunta actualizada, ¿qué tal algo geométrico? Digamos, un $90^\circ$ rotación en el plano, y los vectores $u$ y $v$ de diferentes magnitudes. Tenga en cuenta que cada órbita abarcará todo el espacio.

Answer 2

Dado $u$ seleccione $v\in\operatorname{span}(\mathbb Z u)\setminus\mathbb Zu$ . Entonces $\mathbb Zv \cap \mathbb Zu=\emptyset$ pero $\operatorname{span}(\mathbb Z v)\subseteq \operatorname{span}(\mathbb Z u)$ . Para el otro extremo ver la respuesta de anon.