¿La categoría coma generaliza la transformación natural hasta cierto punto?

Question

Me preocupa una pregunta: ¿podría categoría de comas ser visto como un versión más débil (¿o sólo una generalización?) de una transformación natural entre dos funtores?

Supongamos: $F, G : \mathbb{A} \mapsto \mathbb{B}$ son funtores.

La categoría de la coma $(F | G)$ , entre otros objetos, contendría triplas del tipo $(F(A), G(A), f: F(A) \rightarrow G(A))$ , donde $f$ podría ser visto como el $\lambda_A$ -componente de la $\lambda: F \implies G$ .

AFAICS, un morfismo $(F(A), G(A), \lambda_A) \rightarrow (F(B), G(B), \lambda_B)$ en el $(F | G)$ es un requisito de naturalidad en sí mismo, sólo que está escrito de forma poco usual. Dado que $\lambda$ requiere que cada $(A \rightarrow B) \in Mor(\mathbb{A})$ para desplazarse, $(F|G)$ da lugar a una transformación natural válida si $\forall f: A \rightarrow B, f \in Mor(\mathbb{A}): \exists f_{(F|G)}: (F(A), G(A), \lambda_A) \rightarrow (F(B), G(B), \lambda_B), f_{(F|G)} \in Mor((F|G)), f_{(F|G)} = (F(f), G(f))$

...en otros casos, puede que no haya completa transformación natural, pero sigue siendo similar y parece una especie de más débil versión más general de la misma. ¿Es una visión correcta?

Answer 1

Las categorías de comas satisfacen una propiedad universal particular en la categoría 2 $\mathbf{Cat}$ . Dados los funtores $F:A\to C$ y $G:B\to C$ la categoría de la coma $(F\downarrow G)$ viene equipado con las obvias proyecciones $$p_1:(F\downarrow G)\to A$$ y $$p_2:(F\downarrow G)\to B$$ y una transformación natural $$\alpha:F\circ p_1\Rightarrow G\circ p_2$$ que son universales para tales diagramas; es decir, dado cualquier otro funtor $X:D\to A$ y $Y:D\to B$ y una transformación natural $\beta:FX\Rightarrow GY$ existe un functor único $H:D\to (F\downarrow G)$ con $$p_1\circ H=X$$ $$p_2\circ H=Y$$ y $$\alpha H=\beta.$$

Debería ser fácil ver, y un sentido de esto es probablemente lo que provocó su observación, que la categoría de la coma $(id_C\downarrow id_C)$ es realmente la categoría de la flecha en una categoría $C$ y la propiedad anterior se especializa en el hecho familiar de que los funtores en la categoría de flechas de $C$ corresponden a transformaciones naturales entre pares de funtores a $C$ . Si pensamos en las categorías de flechas como espacios de transformaciones naturales, y en las categorías de comas como categorías de flechas generalizadas, entonces tienes razón en que las categorías de comas son espacios que indexan ciertas clases de transformaciones naturales (o cosas parecidas a las transformaciones naturales).