Dejemos que $\pi : \tilde S \rightarrow S$ sea un recubrimiento etéreo de grado 2. Entonces para cualquier divisor $D$ de $S$ tenemos $\pi_*\pi^*D = 2D$ .

Question

Dejemos que $\pi : \tilde S \rightarrow S$ sea un recubrimiento étale de grado 2 de superficies algebraicas complejas. Entonces para cualquier divisor $D$ de $S$ tenemos $\pi_*\pi^*D = 2D$ . Intuitivamente veo que esto es cierto. Pero, ¿cómo se puede demostrar?

Answer 1

Hartshorne te dice cómo definir $\pi_*: \mathrm{Pic}\, X\to\mathrm{Pic}\,Y$ donde $\pi:X\to Y$ es un mapa finito de grado $d$ de las variedades lisas (la planicidad es suficiente). Si $L$ es un haz de líneas en $X$ entonces $\pi_*L=\Lambda^d \pi_*L\otimes \Lambda^d(\pi_*\mathcal{O}_X)^{-1}$ donde el lado derecho $\pi_*$ es como las gavillas.

En su caso, $\pi_*\mathcal{O}_X=\mathcal{O}_Y\oplus M$ , $M$ un paquete de líneas. Si $G=\mathcal{O}_Y(D)$ Utilizando la definición anterior, está claro que $\pi_*\pi^* G=\mathcal{O}_Y(2D)$ ya que como gavillas, $\pi_*\pi^*(G)=G\oplus G\otimes M$ .