Es bueno el enfoque infinitesimal.

Question

He oído hablar del enfoque infinitesimal del cálculo. Es mejor que el enfoque normal o es al revés.

Answer 1

La aproximación con infinitesimales es equivalente a la que no tiene infinitesimales. Todo lo que se puede demostrar con un formalismo, se puede demostrar con el otro. La diferencia es, pues, cosmética y una cuestión de gustos y preferencias. En esto influye en gran medida lo que es históricamente más común, que por supuesto es el enfoque sin infinitesimales. Es difícil predecir si esta situación se mantendrá o no (si me veo obligado, apostaré en contra de los infinitesimales).

Hay una contrapartida. El enfoque sin infinitesimales no requiere ninguna maquinaria sofisticada para ponerse en marcha. Tomando cualquier definición de los reales que se desee, se puede empezar a hacer el análisis inmediatamente con el $\epsilon - \delta$ definición. Sin embargo, lleva algún tiempo acostumbrarse a los argumentos, y no son particularmente una traducción directa de las propias intuiciones geométricas a un sistema formal. El enfoque infinitesimal (sea cual sea) requiere una cantidad considerable de trabajo preparatorio (ya sea en forma de lógica, o alguna discusión detallada de los axiomas que no se conocen). Hay numerosos textos que intentan facilitar al lector el mundo de los infinitesimales. Por lo que sé, todos ellos presentan un obstáculo inicial que no es trivial superar antes de poder empezar a hacer análisis, aunque una vez superado ese obstáculo, los argumentos son más agradables y se acercan más a la propia intuición.

Por lo tanto, si quieres aprender a analizar, probablemente sea una buena idea hacerlo de la forma libre de infinitos. Este es, con mucho, el lenguaje estándar que utilizan los analistas. Si quieres ampliar tus horizontes y aprender algunos formalismos más y profundizar en los fundamentos del tema, pasar algún tiempo con infinitesimales es una buena idea. Además, si quieres impresionar a la gente en el pub conociendo los infinitesimales es una buena idea (y también para señalar rápidamente las falacias tontas que la gente en el pub dice sobre los infinitesimales, puede que quieras aprender adecuadamente los fundamentos).