¿Continuidad de una tasa de variación ampliada?

Question

Dejemos que $f:\mathbb R\to \mathbb R$ ser un $C^1$ función.

Entonces demuestre o refute que $g:\mathbb R^2\to \mathbb R$ definir por $$g(x,y) = \begin{cases}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\text{if $x\neq y$}\\ f'(x)&\text{if $x= y$}\end{cases}$$ es una función continua.

Tenga en cuenta que $C^1$ La continuidad debe ser crucial, ya que un flagrante contraejemplo dado por la función $$f(x) = \begin{cases}x^2\sin \frac{1}{x}&\text{if $x\neq 0$}\\ 0&\text{if $x= 0$}\end{cases}$$ que es diferenciable en $\mathbb R$ pero no $C^1$ porque la derivada no es continua en $x=0.$

Answer 1

Primero vemos que g es continua en $(x,y)$ tal que $x\neq y$ ahora dejemos $x_{0} = y_{0}$ y que $ (x,y)$ convergen a $(x_{0},y_{0})$ tenemos $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}= {f}'(c) $ tal que $ x\leq {c} \leq y $ . y la conclusión sigue desde $ f$ es $C^{1}$ continuo