Al buscar en Google "morfismo atómico" sólo obtengo 70 resultados. ¿Es este concepto tan infructuoso o tiene otro nombre estándar? Me refiero a un morfismo $f: A \rightarrow B$ tal que
$$(\forall g,h)\ f = g \circ h \rightarrow (g = f\ \wedge\ h = id_A)\ \vee\ (g = id_B\ \wedge\ h = f).$$
Como se menciona en los comentarios, probablemente llamaría a tal morfismo "irreducible" o "primo". Un "menos malvado La versión "más útil" sería pedir que si $f = g \circ h$ Entonces, o bien $g$ o $h$ es un isomorfismo. En esta forma, si se considera el monoide multiplicativo de un anillo como una categoría con un objeto, los morfismos irreducibles (no invertibles) son precisamente los elementos irreducibles del anillo.
Estoy de acuerdo en que en las "categorías concretas" es poco probable que tales morfismos sean muy comunes o útiles, pero otra situación en la que surgen son las categorías libres sobre grafos dirigidos. En una categoría de este tipo, los morfismos irreducibles no identitarios son precisamente los generadores (las imágenes de las aristas del grafo dirigido del que se parte).
Como dijo Qiaochu, la noción que has definido rara vez es útil: por ejemplo, no es invariable al sustituir una categoría por otra equivalente (por ejemplo, el morfismo único en la categoría terminal - es "atómico" pero no hay morfismos atómicos en la categoría con dos objetos relacionados por un isomorfismo único). Incluso cuando su categoría es rígida (no tiene ningún isomorfismo aparte de los identitarios) puede haber menos morfismos "atómicos" de los que espera: por ejemplo, la categoría simplex no tiene ninguno (podemos factorizar el morfismo identitario de [n] de forma no trivial a través de [m] para m > n).
Sin embargo, he observado que en tu otra pregunta utilizas el término en el caso de las categorías que son posets. En ese caso especial, la noción es buena y tiene un nombre: si hay un morfismo "atómico" x → y, decimos que "y cubre a x". Creo que el propio morfismo también se llama cobertura, pero no estoy seguro de la terminología exacta en ese caso.
Una noción muy similar es la de un morfismo irreducible .
En una categoría abeliana, un morfismo se llama monomorfismo de división si es una inclusión de un sumando directo, y epimorfismo de división si es la proyección sobre un sumando directo. Un morfismo se llama escindido si tiene cualquiera de las propiedades anteriores.
Un morfismo $f$ se llama irreducible si no se divide pero, siempre que $f=st$ , ya sea $s$ es un monomorfismo de división o $t$ es un epimorfismo de división.
Nunca he visto utilizar esta definición fuera de las categorías abelianas, pero creo que tiene sentido en cualquier categoría: Podemos definir los monomorfismos escindidos como los mapas que tienen inversa derecha y los epimorfismos escindidos como los mapas que tienen inversa izquierda.
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