Dejemos que $\{X_n\}$ sea una secuencia de variables aleatorias s.t $X^p_n \longrightarrow X^p$ en $L^1$ ¿tengo eso? $X_n \longrightarrow X$ en $L^p$ ?
¿Qué pasa si tengo ese $X_n \longrightarrow X$ ¿casi seguro?
Soy consciente de que $X_n \longrightarrow X$ en $L^p$ implica $X^p_n \longrightarrow X^p$ en $L^1$ (como se puede encontrar aquí ). Pero me cuesta demostrar o encontrar un contraejemplo.
Lo único que he observado es que la hipótesis implica que tanto $\{X_n\}$ y $\{|X_n|^p\}$ son U.I.
Sí $X_n^p \to X^p$ en $L^1$ implica $X_n \to X$ en $L^p$ . Esto se puede demostrar con el siguiente argumento: Para cualquier subsecuencia de $\{X_n\}$ podemos pasar a una subsecuencia tal que $X_n^p$ converge puntualmente en casi todas partes a $X^p$ . Además, tenemos $$\limsup_{n\to\infty}\int_E |X_n - X|^p \leq 2^{p-1} \limsup_{n\to\infty} \int_E |X_n|^p + |X|^p = 2^p \int_E|X|^p$$ para cualquier conjunto medible $E$ y por lo tanto por Teorema de Vitali concluimos $\int |X_n - X|^p \to 0$ .
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