Dejemos que $A$ sea una matriz cuadrada tal que $A^T$ es una matriz de transición positiva. Demuestre que $\lambda = -1$ no es un valor propio de $A$ .

Question

La pregunta dice:

Consideremos una matriz cuadrada $A$ tal que todas las entradas son positivas y la suma de las entradas de cada fila es $1$ es decir $A^T$ es una matriz de transición positiva. Demuestre que $\lambda = -1$ no es un valor propio de $A$ .

No estoy seguro de cómo demostrarlo. Sé que todos los valores propios de $A$ tiene sus valores absolutos menores o iguales a 1, y que 1 es un valor propio.

Answer 1

Perron-Frobenius implicaría todos los valores propios (excepto $\lambda=1$ ) tienen un valor absoluto estrictamente inferior a $1$ .

Answer 2

Dejemos que $S$ sea el conjunto de $n\,{\times}\,n$ matrices con entradas reales positivas tales que la suma de las entradas de cada fila es $1$ .

Supongamos que $A \in S$ tiene $\lambda = -1$ como un valor propio.

Nuestro objetivo es derivar una contradicción.

Dejemos que $x = (x_1,...,x_n)$ sea un real no nulo $n$ -vector tal que $Ax = -x$ .

Dejemos que $m = \text{min}(x_1,...,x_n)$ y que $M = \text{max}(x_1,...,x_n)$ .

Si $m = M$ entonces $x_1 = \cdots = x_n$ , pero luego de $A\in S$ , obtendríamos $Ax = x$ En contra de la suposición de que $Ax = -x$ .

Por lo tanto, debemos tener $m < M$ .

Dejemos que $A^2x = y = (y_1,...,y_n)$ . Entonces

$$y = A^2x = A(Ax) = A(-x) = -Ax = -(-x) = x$$

Pero $A \in S$ implica $A^2 \in S$ Por lo tanto $A^2x = y$ implica que cada uno de $y_1,...,y_n$ es una combinación convexa estricta de $x_1,...,x_n$ . De ello se desprende que $m < y_1,...,y_n < M$ , al contrario de lo que ocurre con $y=x$ .