Relación de funciones hipergeométricas

Question

Demuestre que si $a$ es un número entero negativo mientras que $b$ y $c$ no son enteros, entonces el cociente $$\dfrac{F(a,b;a+b-c+1;1-z)}{F(a,b;c;z)}$$ es independiente de $z$ y encontrar su valor.

Gracias de antemano.

EDITAR: De la respuesta de los gammantes, podemos concluir: $$\dfrac{F\left( a,b;c;z \right)}{F(a,b;a+b-c+1;1-z)} = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a) \Gamma(c-b)} = \dfrac{(c-a)_a}{(c-b)_a},$$ utilizando la definición del símbolo de Pochhammer $(a)_n=\dfrac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(n)}$ .

Answer 1

Sugerencia: Ver Abramowitz y Stegun 15.3.6 $$F\left( a,b;c;z \right) = \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a) \Gamma(c-b)} F(a,b;a+b-c+1;1-z)\\ + (1-z)^{c-a-b} \frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a) \Gamma(b)} F\left(c-a,c-b;c-a-b+1;1-z\right)$$ Si $a$ es un número entero negativo, entonces $\frac{1}{\Gamma(a)}=0\;$ y el segundo sumando desaparece (si hay otros supuestos, por ejemplo $a+b-c\;$ ningún número entero negativo, etc.) Supongo que puedes continuar desde aquí.