si $X$ es una variable aleatoria, ¿cuál es la distribución de $W(x)=1/x$ ?

Question

Si $X$ es una variable aleatoria, lo que es $W(x) = 1/x$ ?

si $X$ era digamos una distribución normal $\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$

¿Significa eso que $W(x)$ se distribuye como $\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}} \text{?}$

o

¿Significaría eso que W(x) se distribuye como ${\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}e^{-\frac{(\frac{1}{x}-\mu)^2}{2\sigma^2}}}$

O es $W(x)=1/x$ que debe interpretarse como una probabilidad condicional de $W$ dado $X=x$ ? O $f_{W\mid X}(W\mid X=x)$ . Me parece que esto es correcto porque X se usa para denotar distribuciones mientras que x se usa para denotar variables realizadas.

Answer 1

Si $X$ es una variable aleatoria y $g \colon \mathbb R \to \mathbb R$ es una función medible de Borel, entonces $Y = g(X)$ es otra variable aleatoria con función de distribución acumulativa $F_Y(t) = P(g(X) \le t)$ .

Supongamos que $X$ es una variable normal con media $\mu$ y la varianza $\sigma^2$ . Ahora $$F_X(t) = P(X \le t) = \frac 12 \left( 1 + \textrm{erf} \left( \frac{x- \mu}{\sigma \sqrt 2} \right) \right),$$ así que $$F_Y(t) = P\left(\frac 1 X \le t\right).$$ Para ampliarla, hay que distinguir dos casos: $X \le 0$ o $X > 0$ . En fin, $1/X$ no tiene valor esperado. Según ¿Cuál es el nombre de este teorema, y hay alguna advertencia? es igual a $$\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-x^2 / \sqrt{2}}}{\sqrt{2 \pi}x} \,\textrm{d} x.$$ Sin embargo, la integral no es absolutamente convergente.

Answer 2

Creo que estás preguntando "cuál es el pdf de 1/X dado el pdf de X". ¿Es eso cierto? No es el recíproco ya que eso violaría el criterio de que el área total debe ser 1. Algo que puede ser relevante es que cualquiera que sea la pdf de 1/X es que E(1/X) será igual a la integral (sobre el dominio relevante) de 1/x veces la pdf de X. A ver si esto ayuda: https://imai.princeton.edu/teaching/files/Expectation.pdf Véase el teorema 14.