Teorema A: Dejemos que $b\ge a$ . $$\begin{align} &(t-a)(t-b)\le 0\iff a\le t\le b\\ &(t-a)(t-b)\ge0\iff t\le a \text{ or } t\ge b \end{align}$$
Prueba: $$\begin{align} &a\le t\le b\implies t-a\ge0, t-b\le 0\implies (t-a)(t-b)\le0\\ &t\le a\le b\implies t-a\le0, t-b\le 0\implies (t-a)(t-b)\ge0\\ &t\ge b\ge a\implies t-a\ge0, t-b\ge 0\implies (t-a)(t-b)\ge0 \end{align}$$
Límites en coordenadas cartesianas (orden de integración: $\mathrm{\iiint_Vz\, dz\, dy\, dx}$ )
Al principio, nuestra integral se parece a $$\mathrm{ \iiint_Vg(x,y,z)\,dz\,dy\,dx }$$ Como estamos integrando con respecto a $z$ primero vamos a arreglar $x,y$ y, en consecuencia, los límites superior e inferior de $z$ serán funciones $x,y$ . Después de que hayamos terminado de integrar con respecto a $ z$ primero nos quedaremos con una integral que se parece a $$\mathrm{ \iint_Vh(x,y)\,dy\,dx }$$ Ahora tenemos que integrar wrt $y$ primero y por lo tanto fijamos $x$ para encontrar los límites de $y$ es decir, los límites de $y$ serán funciones de $x$ . Después de que hayamos terminado de integrarnos con respecto a $y$ nos quedará una integral que se parece a la conocida integral definida de una sola variable $$\mathrm{ \int_a^b F(x)\,dx }$$ donde $a,b$ son constantes. Así que nuestra integral se ve como $$\mathrm{ \int_a^b\int_{p(x)}^{q(x)}\int_{m(x,y)}^{n(x,y)}g(x,y,z)\,dz\,dy\,dx }$$ Las dos desigualdades en la definición de $B$ se obtienen inmediatamente los límites de $z$ como $$\color{blue}{\sqrt{7x^2+3y^2}\le z\le3-2x}$$ Como el límite inferior es positivo, también lo es el límite superior y por tanto tenemos $$ 7x^2+3y^2\le(3-2x)^2 $$ que tras un poco de álgebra se reduce a $$\begin{align} \implies & 0\le y^2\le3-4x-x^2\color{red}{\cdots(1)}\\ \implies &(y-\sqrt{3-4x-x^2})(y+\sqrt{3-4x-x^2})\le0\\ \implies&\color{blue}{-\sqrt{3-4x-x^2}\le y\le\sqrt{3-4x-x^2}}\quad\text{[ by theorem A ]} \end{align}$$ que da los límites para $y$ y por último de $(1)$ tenemos $$\begin{align} &0\le 3-4x-x^2\\ \implies& 0\le 7-(x+2)^2\\ \implies& (x+2-\sqrt 7)(x+2+\sqrt 7)\le0\\ \implies& \color{blue}{-2-\sqrt 7\le x\le-2+\sqrt7}\quad\text{[ by theorem A ]} \end{align}$$ que son los límites requeridos para $x$ . Así que nuestra integral se convierte en $$\mathrm{ \int_{-2-\sqrt 7}^{-2+\sqrt 7}\int_{-\sqrt{3-4x-x^2}}^{\sqrt{3-4x-x^2}}\int_{\sqrt{7x^2+3y^2}}^{3-2x}z\,dz\,dy\,dx }={147\pi\over4}$$
Límites en coordenadas cartesianas (orden de integración: $\mathrm{\iiint_Vz\, dy\, dz\, dx}$ )
De la discusión en la sección anterior entendemos que nuestra integral en este caso debería ser como $$\mathrm{ \int_A^B\int_{P(x)}^{Q(x)}\int_{M(x,z)}^{N(x,z)}g(x,y,z)\,dy\,dz\,dx }$$ Manipulamos la primera desigualdad que define $B$ como sigue $$ y^2\le{z^2-7x^2\over 3}\implies \left(y-\sqrt{z^2-7x^2\over3}\right)\left(y+\sqrt{z^2-7x^2\over3}\right)\le0\\ \therefore \color{blue}{-\sqrt{z^2-7x^2\over3}\le y\le\sqrt{z^2-7x^2\over3}}\quad \text{[ by theorem A ]} $$ $y$ tiene límites reales si $$ 7x^2\le z^2\iff -z\le\sqrt 7x\le z\cdots(2) $$ La primera desigualdad que define $B$ dice $z\ge0$ y el $2$ nd uno dice $z+2x\le3$ . Estos dos, junto con $(2)$ danos $4$ desigualdades $$\begin{align} -&z\le\sqrt7 x\\ &z\ge\sqrt7 x\\ &z+2x\le3\\ &z\ge0 \end{align}$$ La región que satisface todas estas desigualdades es la unión de las zonas gris y amarilla en la figura siguiente.
![enter image description here]()
Para obtener los límites de $z$ arreglamos $x$ que nos da una línea vertical a lo largo de la cual $z$ varía.
Zona gris: $\color{blue}{-{\sqrt 7}x\le z\le3-2x,\;-2-\sqrt7\le x\le0}$
Zona amarilla: $\color{blue}{{\sqrt 7}x\le z\le3-2x,\;0\le x\le-2+\sqrt7}$
Así que nuestra integral se convierte en $$\mathrm{ \underbrace{\int_{-2-\sqrt7}^{0}\int_{-\sqrt7 x}^{3-2x}\int_{-\sqrt{{z^2-7x^2\over3}}}^{\sqrt{{z^2-7x^2\over3}}}z\,dy\,dz\,dx}_{\text{grey}}+\underbrace{\int^{-2+\sqrt7}_{0}\int_{\sqrt7 x}^{3-2x}\int_{-\sqrt{{z^2-7x^2\over3}}}^{\sqrt{{z^2-7x^2\over3}}}z\,dy\,dz\,dx}_{\text{yellow}} }={147\pi\over4}$$
Límites en coordenadas polares cilíndricas (orden de integración: $\mathrm{\iiint_Vz\,r\,dz\,d\theta\,dr}$ )
$$\begin{align} &\sqrt{7(r\cos\theta-2)^2+3r^2\sin^2\theta}\le z\le3-2(r\cos\theta-2)\\ \implies&\color{blue}{\sqrt{28-28r\cos\theta+4r^2\cos^2\theta+3r^2}\le z\le7-2r\cos\theta}\\ &\color{blue}{0\le\theta\le2\pi}\\ &r^2={(x+2)^2+y^2}={y^2-(3-4x-x^2)+7}\le0+7=7\;\;\text{[ using (1) ]}\\ \implies& \color{blue}{0\le r\le\sqrt7} \end{align}$$
Cálculo de la integral
En efecto, la sustitución polar facilita aquí la evaluación de la integral $$\mathrm{ \int_0^{\sqrt 7}\int_0^{2\pi}\int^{7-2\cos\theta}_\sqrt{28-28r\cos\theta+4r^2\cos^2\theta+3r^2}zr\,dz\,d\theta\,dr\\ =\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{2\pi}r{z^2\over2}\Big{|}^{7-2\cos\theta}_\sqrt{28-28r\cos\theta+4r^2\cos^2\theta+3r^2}\,d\theta\,dr\\ =\int_0^{\sqrt 7}\int_0^{2\pi}r{(21-3r^2)\over2}\,d\theta\,dr\\ =\int_0^{\sqrt 7}\pi r(21-3r^2)\,dr\\ ={147\pi\over4} }$$
