Es $37!$ divisible por $19!\cdot20!$ ?

Question

Es $37!$ divisible por $19!\cdot20!$ ?

Lo reescribo como $\frac{37!}{19!*20!}=\frac{37*36*35*...*21}{19!}$

lo simplificó y obtuvo $\frac{37*35*33*31*29*23}{19}$ lo que es obvio no es entero.

De otra manera, me di cuenta de que la fracción $\frac{37*36*35*...*21}{19!}$ el numerador no tiene un múltiplo de $19$ Así que $19\nmid 37*36*35*...*21$

Pero creo que debería ser más general la forma de probarlo. ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

$$\frac {37!}{19!20!}$$ no es un número entero

Sabemos que hay dos $19$ en la parte inferior pero sólo uno en la superior.

Desde $19$ es primo la fracción no se simplifica a un número entero.