Existencia de una 1 forma suave dependiente del tiempo $\mu_t$ Satisfaciendo a $\omega_t = d \mu_t$ para una determinada 2forma exacta lisa dependiente del tiempo

Question

Dada una variedad compacta $M$ y una 2 forma exacta suave dependiente del tiempo $\omega_t$ en $M$ , ¿es posible encontrar una forma 1 suave y dependiente del tiempo $\mu_t$ en $M$ tal que $\omega_t = d \mu_t$ ?

La referencia relacionada está en el Teorema 3.17. en la Introducción a la Topología Simpléctica de Mcduff.

En concreto, me gustaría saber la parte de la setencia "El paso inductivo se consigue utilizando la secuencia de Mayer-Vietoris".

Lo he probado utilizando las funciones de bump.

Dejemos que $U, V$ sean conjuntos abiertos en los que se cumple para formas con soporte compacto. Sea $\omega_t$ sea una forma cerrada compactamente soportada en $U \cup V$ . Para demostrarlo, tomo dos funciones $\phi, \psi$ una parte de la unidad subordinada a $\{ U , V \}$ . Sin embargo, $d (\phi \omega_t) = d\phi \wedge \omega_t$ no es una forma cerrada.

Así que me gustaría saber cómo utilizar esta pista.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $U,V$ son dos conjuntos abiertos con intersección no vacía y conectada, $\omega_t$ una forma exacta de dos en $U\cup V$ y $\xi $ una función suave en $U\cup V$ Satisfaciendo a $$\xi(x)=\begin{cases}1 &x\in U\setminus V\\ 0&x\in V\setminus U\end{cases}$$

Dejemos que $\sigma_t $ sea una primitiva de $\omega_t$ en $U$ y $\lambda_t$ una primitiva en $V$ . Ahora defina $$\theta_t (x) :=\xi(x)\sigma_t +(1-\xi(x))\lambda_t $$

Tenga en cuenta que $\omega_t -d \theta_t $ es una forma cerrada y se apoya en $U\cap V$ . Por el lema de Poincare podemos encontrar una primitiva $\alpha_t$ de $\omega_t -d \theta_t$ . Dado que el apoyo de $\alpha_t$ está en $U\cap V$ . Por lo tanto, $$\theta_t +\alpha_t $$ define un primitivo suave de $\omega_t$ en $U\cup V$ .