Demuestre que un estrella convexa set $X \subset \mathbb{R^n}$ está simplemente conectado.
Tengo la idea de la prueba : Hay un natural retracción de $X$ en el conjunto $\{x_0\}$ porque cualquier otro punto $x \in X$ puede ser mapeo continuo por $f:X \to \{x_0\}$ a $x_0$ .
( Estoy seguro de que necesito decir : a lo largo del segmento que los une, pero aparentemente puedo escribir una retracción sin especificar cómo mapear $X$ en $\{x_0\}$ ¡¡¡es extraño !!! ).
los únicos conjuntos abiertos en $\{x_0\}$ son el conjunto vacío $\emptyset$ y todo el espacio $\{x_0\}$ , preimagen de ambos bajo $f$ está abierto en $X$ . Y ya que, obviamente !, $f(x_0)=x_0$ , $f$ es una retracción de $X$ en $\{x_0\}$ .
Desde $\pi_1(\{x_0\})$ es trivial, el teorema implica que $X$ está simplemente conectado.
Mi prueba no puede ser correcta, ya que puedo encontrar :D una retractación de un subconjunto de $\mathbb{R^n}$ que no es convexo en estrella sobre un punto $x_0$ y finalmente afirmar que $X$ está simplemente conectado.
Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!
