Complexified el espacio de la tangente

Question

Deje $M$ ser un complejo colector de dimensión$n$$p\in M$. Por lo $M$ puede ser visto como un verdadero colector de dimensión $2n$ y se puede considerar que la costumbre real espacio de la tangente en $p$, $T_{\mathbb{R},p}(M)$, que es el espacio de la $\mathbb{R}$ lineal derivaciones en el $\mathbb{R}$-álgebra de los gérmenes de $C^\infty$ funciones en un barrio de $p$, y si escribimos $z_i=x_i+y_i$, luego $T_{\mathbb{R},p}(M)=\mathbb{R}\big\{\frac{\partial}{\partial x_i},\frac{\partial}{\partial y_i}\big\}$.

Así que si, $v\in T_{\mathbb{R},p}(M)$, entonces podemos escribir $v=\sum_{i=1}^{n}a_i\frac{\partial}{\partial x_i}|_p+\sum_{i=1}^{n}b_i\frac{\partial}{\partial y_i}|_p$ donde $a_i,b_i\in\mathbb{R}$. Es ese derecho?

A continuación, vamos a definir el complexified el espacio de la tangente a $M$ a $p$, $T_{\mathbb{C},p}(M)$ ser $T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$. A continuación, el libro dice que los elementos de $T_{\mathbb{C},p}(M)$ puede ser realizado como $\mathbb{C}$ lineal derivaciones en el anillo de los complejos de los valores de $C^\infty$ funciones $M$$p$. No sé cómo me puede darse cuenta de esto. Por si elegimos un elemento $(v\otimes z_0)\in T_{\mathbb{C},p}(M)$, ¿cómo podemos actuar en el complejo de funciones con valores? Al principio pensé que si $f$ es un complejo de valores de la función en un barrio de $p$, puedo definir $(v\otimes z_0)(f) = z_0 v(f)$. Pero esto no tiene sentido porque, $v$ es un verdadero vector tangente, más $(v\otimes z_0)$ se $\mathbb{C}$-lineal y debe ser una derivación. Entonces, ¿cómo puedo ver esto?

Answer 1

"El" libro está a la derecha: $T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$ puede ser identificado con el complejo lineal del espacio vectorial de $\mathbb C$-lineal derivaciones $C^\infty_{M,p,\mathbb C}\to \mathbb C$.
De hecho, dada la verdadera derivación $v\in T_{\mathbb{R},p}(M)$ la primaria tensor $v\otimes z\in T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$ actúa en $f+ig\in C^\infty_{M,p,\mathbb C}$ (=gérmenes de suave valores complejos de funciones definidas cerca de $p$) por la fórmula $$ (v\otimes z) (f+ig) =z\cdot [v(f)+iv(g)]$$ This action is a $\mathbb C$-linear derivation $ C^\infty_{M,p,\mathbb C}\to \mathbb C $ and all such complex derivations are uniquely obtained from $ T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}$ .
Para resumir en una fórmula: $$Der_\mathbb C (C^\infty_{M,p,\mathbb C}\to \mathbb C)=T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}= Der_\mathbb R (C^\infty_{M,p,\mathbb R}\to \mathbb R) \otimes_\mathbb R \mathbb C $$

¿Se nota que el de la compleja estructura en $M$ es irrelevante?
No?
No me sorprende: este hecho es que casi nunca se menciona en los libros o conferencias.
La compleja estructura en $M$ da lugar a un canónica de la suma directa de descomposición $T_{\mathbb{R},p}(M)\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C}=T^{1,0}\oplus T^{0,1}$ donde $T^{0,1}$ se compone de derivaciones matar los gérmenes de holomorphic funciones, pero esa es otra (mucho y muy interesante!) historia.