¿Por qué son importantes las ecuaciones funcionales?

Question

Las personas que hablan sobre cosas como formas modulares y funciones zeta ponen mucho énfasis en la existencia y forma de las ecuaciones funcionales, pero nunca las he visto utilizadas como otra cosa que una herramienta técnica. ¿Hay alguna razón conceptual por la que queremos estas ecuaciones funcionales? ¿Simplemente no he visto lo suficiente de la teoría?

Answer 1

Hay muchas razones por las cuales las ecuaciones funcionales son importantes. Algunos antecedentes: Para la mayoría de variedades/esquemas que aparecen en la geometría aritmética, se puede asociar una función zeta/función L. Hay dos formas principales de construir estas, ya sea a partir de la cohomología ℓ-ádica o contando soluciones en varios campos finitos. Por lo general, la palabra función L se utiliza para funciones asociadas a variedades sobre campos numéricos, construidas a partir de la cohomología ℓ-ádica, y la palabra función zeta se utiliza para funciones asociadas a esquemas sobre Z u otro anillo de enteros, o sobre un campo finito. Sin embargo, hay cierta confusión acerca de la terminología, y también hay cierto solapamiento entre las dos, ya que hay una estrecha relación entre la función L de una variedad y la función zeta de un modelo integral para la variedad.

Sobre campos finitos, la ecuación funcional es parte de las famosas conjeturas de Weil, demostradas por Deligne. Una razón por la cual la ecuación funcional es interesante es que refleja la dualidad de Poincaré en la cohomología étale de la variedad, por lo que es en cierto sentido una afirmación geométrica profunda. Para más información sobre las conjeturas de Weil, consulte por ejemplo Freitag y Kiehl: Cohomología étale y las conjeturas de Weil, y la revisión de Mazur: Autovalores de Frobenius actuando en variedades algebraicas sobre campos finitos, en las actas de alguna conferencia.

Para la definición de funciones L y funciones zeta y muchos otros antecedentes, consulte Manin y Panchishkin: Introducción a la teoría moderna de números, capítulo 6. Hay al menos dos razones importantes para estar interesado en las ecuaciones funcionales para estas funciones. En primer lugar, la existencia de una ecuación funcional parece estar siempre directamente relacionada con la función L proveniente de una representación automorfa, y la idea de que "cada función L de la geometría algebraica (también conocida como función motivic L) también proviene de una representación automorfa" es en cierto sentido la encarnación teórica del programa global de Langlands para la teoría de números. Consulte, por ejemplo, Bump et al: Una introducción al programa de Langlands. Los casos más famosos donde esto ha sido probado son (1) la tesis de Tate, que trata las funciones L de Hecke, y donde la representación automorfa correspondiente es unidimensional, es decir, un carácter en los ideales, y (2) el trabajo de Wiles y otros relacionado con el último teorema de Fermat, donde muestran que la función L asociada a una curva elíptica sobre Q también proviene de una forma modular, y por lo tanto satisface la ecuación funcional esperada. Consulte el libro de Diamond y Shurman sobre formas modulares.

La otra razón importante para pensar en la ecuación funcional es que algunas personas optimistas sueñan con una "teoría de cohomología aritmética", que nos permitiría imitar la demostración de las conjeturas de Weil, pero para funciones zeta sobre Z o funciones L sobre Q. Entonces, la ecuación funcional debería estar relacionada con la dualidad de Poincaré para esta cohomología. Todo esto está relacionado con la hipótesis de Riemann, la geometría no conmutativa y el campo con un elemento. Consulte, por ejemplo, el Las funciones L motivic y determinantes regularizados de Deninger (pdf), su encuesta más reciente Geometría aritmética y análisis en espacios foliados, algunas diapositivas de Paugamenlace roto sobre la ecuación funcional, y también los capítulos posteriores de Manin-Panchishkin. Algunos de los nombres clave si desea encontrar más referencias: Deninger, Connes, Consani, Marcolli; la mayoría de ellos tienen mucha información en sus páginas web y en arXiv.

Answer 2

Tal como se mencionó en otras respuestas, las ecuaciones funcionales están relacionadas con la dualidad. En general, sin embargo, el objeto "dual" no necesita ser el objeto original. Simplemente sucede que los objetos que dan la función zeta de Riemann y las L-funciones de formas modulares son autoduales (hasta un giro). Para un motivo general, M, por ejemplo, la ecuación funcional (supuestamente) relaciona los valores de la L-función de M con los valores de la L-función de M*, el dual de M (ver por ejemplo un artículo de Panchishkin link text). Para representaciones automorfas, es el contragradiente (ver la sección 14 del artículo de Borel sobre L-funciones en Corvallis link text). Entonces, conceptualmente, la ecuación funcional es simplemente una expresión de esta dualidad.

Tal como Andreas Holmstrom insinuó anteriormente, la ecuación funcional está (supuestamente) relacionada con qué L-funciones son automorfas. El tipo de resultado se llama "Teorema inverso". Uno famoso "clásico" es el teorema inverso de Weil que básicamente dice que si tienes dos series de Dirichlet de manera que para infinitas caracteres de Dirichlet, las series de Dirichlet torcidas tienen continuidad analítica, están acotadas en bandas verticales Y están relacionadas por una ecuación funcional, entonces son series de Dirichlet provenientes de una forma modular (ver el libro de Bump, teorema 1.5.1). Para GL(n) ver "L-funciones y teoremas inversos para GL(n)" de Cogdell link text).

Para añadir al párrafo anterior, se piensa que la existencia de una ecuación funcional es una de las propiedades que caracterizan a las L-funciones según la noción de la "clase de Selberg" (link text)

Answer 3

Parece que vale la pena mencionar otra aplicación de las ecuaciones funcionales. Para fijar ideas, supondré que $E$ es una curva elíptica sobre ${\mathbb Q}$, y sea $L(E,s)$ la función $L$ de $E$. Existe entonces una ecuación funcional que relaciona $L(E,s)$ y $L(E,2-s); una característica de esta ecuación funcional es que tiene un signo, es decir, tiene la forma $L(E,s-2) = \pm (\text{ una constante positiva })L(E,s),$ donde $\pm$ es algún signo fijo, dependiendo de $E$ y se calcula fácilmente (por ejemplo, usando la forma modular correspondiente a $E$).

Por lo tanto, uno encuentra que el orden de anulación de $L(E,s)$ en $s = 1$ es impar (par) precisamente si el signo es $-1$ ($+1$).

Dado que se postula que el orden de anulación coincide con el rango de $E({\mathbb Q})$ (la conjetura de BSD), esta es información aritmética bastante importante que se obtiene bastante fácilmente de la ecuación funcional. En particular, si el signo es $-1$, siempre esperamos que haya un punto racional de orden infinito, y organizar las cosas de modo que el signo sea $-1$ (al torsionar por un carácter bien elegido, por ejemplo) es una forma común de forzar la existencia de puntos racionales en varias situaciones. (Hay un gran cuerpo de investigación centrado en esta relación esperada entre los signos de las ecuaciones funcionales y la existencia de puntos racionales en curvas elípticas; por ejemplo, es fundamental en el estudio de los puntos de Heegner por Gross y Zagier y Kolyvagin. Algunas contribuciones importantes recientes son de Nekovar, Mazur and Rubin, y T. y V. Dokchitser.)

Answer 4

Me sorprende que nadie parezca haber mencionado un uso clave de las ecuaciones funcionales: son una entrada clave en los teoremas inversos. Si tienes una serie de potencias en q que estás tratando de demostrar que es una forma modular de nivel 1, entonces una estrategia es mostrar que la función L asociada tiene el tipo correcto de ecuación funcional (y un par de otras propiedades agradables). La ecuación funcional puede traducirse en una relación entre f(z) and f(-1/z), y el tipo correcto de ecuación funcional se traduce en el tipo correcto de propiedad de traslación para f, lo cual es lo que necesitabas para demostrar que era modular (el hecho de que fuera una serie de potencias en q te da la limitación en el infinito y f(z)=f(z+1)).

Esta idea fue generalizada por Weil, quien demostró que un número suficiente de ecuaciones funcionales para tu función L y sus torsiones implicarán que es la función L de una forma modular. ¡Por lo tanto, las curvas elípticas con multiplicación compleja son modulares! (porque sus funciones L son funciones L de caracteres de grossen). Esa es una afirmación algebraica cuya demostración que mencioné arriba hace uso esencial de la ecuación funcional de la función L.

Answer 5

Hola Qiaochu,

Diría que las ecuaciones funcionales de funciones tipo zeta son populares porque es uno de los ejemplos no triviales más simples de funciones que tienen una simetría solo cuando se continúan analíticamente. Pero en sí misma, el impacto de tal ecuación funcional es bastante limitado, aunque algunas personas están convencidas de que esta ecuación es clave para resolver la Hipótesis de Riemann, lo cual es engañoso (este sentimiento también está respaldado por el teorema de Hamburger que afirma que cualquier función de Dirichlet que tenga una continuidad analítica como zeta y que cumpla la misma ecuación funcional es proporcional a zeta, pero cuando se consideran las funciones L, esto se vuelve falso y la función L de Davenport-Heilbronn es un ejemplo de función de Dirichlet con una ecuación funcional similar a la de una función L pero también con infinitos ceros en cualquier franja vertical incluida en la franja crítica, por lo tanto, no cumpliendo una hipótesis de Riemann).

Sin embargo, para mí estas ecuaciones funcionales esconden un fenómeno mucho más profundo. La ecuación funcional es un artefacto de la acción de la transformada de Fourier en las funciones zeta. Además, la misma simetría que se puede demostrar de una manera simple para las funciones zeta locales se extiende a las globales, lo cual es un resultado muy no trivial (demostrado para funciones zeta de Hecke generales por John Tate en su tesis).

Además, se puede ver la transformada de Fourier como la imagen de un operador lineal particular mediante la representación de Weil. Y examinar la acción de la representación de Weil en un contexto más general conduce a algunas Fórmulas de Poisson generalizadas, y probablemente todavía hay algunas cosas por descubrir en este campo (pero eso es un punto de vista personal...).

Saludos cordiales,

Eric