Conjuntos abiertos y cerrados en la suma de topologías

Question

Necesito ayuda para entender el significado de los conjuntos abiertos en Suma de topologías.

Estudié en la Topología General de Bourbaki que:

La suma de topologías es la topología final definida sobre la suma de la familia de Conjuntos $(X_i)_{i \in I}$ , denotado por $X$ con respecto a los mapeos canónicos $j_i: X_i \rightarrow X$ . Al identificar cada $X_i$ con un subconjunto de $X$ por medio de $j_i$ afirma que cualquier subconjunto $A$ de $X$ es abierto si y sólo si cada uno de los conjuntos $A \;\cap X_i$ es abierto en cada espacio topológico $X_i, \;i \in I.$ Además, cada conjunto $X_i$ es abierta y cerrada en topología en $X$ .

Así es como creo que podríamos demostrar la afirmación if y only if sobre los conjuntos abiertos:

$X_i$ se identifica como $X_i \times \{i\} \subseteq X.$ Ahora dejemos que $A \subseteq X$ estar abierto en $X$ . Entonces, por la definición de topología final, cada $j_i^{-1}(A)$ debe estar abierto en $X_i\;$ es decir $\;X_i \times \{i\}, i \in I.$ Así, considerando $X_i$ como un subespacio de $X, \;j_i^{-1}(A)$ está abierto en $X_i$ si y sólo si $A \,\cap X_i$ está abierto en $X_i$ .
Además, dejemos que $A = X_i$ . Entonces, $\;X_i \,\cap X_j = \begin{cases} \phi & j \neq i \\ X_i & j=i \end{cases}\quad$ porque, $\;X_i \,\cap X_j= \phi$ como subespacios de $X$ .
Por lo tanto, $X_i$ está cerrado en todo $X_j,\, j \in I$ . Por lo tanto, está cerrado en $X$ . Argumentos similares son válidos para demostrar $X_i$ está abierto en $X$ .

Por favor, verifique si la solución es correcta.
Además, me cuesta digerir que por qué estamos identificando cada $X_i$ con un subconjunto de $X$ por medio de $j_i$ ? Este paso me parece forzado, tomado sólo para dar una forma conveniente de definir conjuntos abiertos en $X$ . No parece tener nada que ver con la definición de la topología final.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Su solución de por qué el $j_i[X_i]$ están abiertos en la suma $X$ es correcto: $j_i^{-1}[X_i]$ es $X_i$ mismo o vacío, así que abra en $X_i$ .

El objetivo de la construcción es hacer que las copias del $X_i$ todos disjuntos. Consideremos, por ejemplo, una suma de un número contable de copias de $[0,1]$ (en la topología habitual). No podemos tomar una unión porque entonces obtenemos sólo $[0,1]$ Necesitamos copias separadas de $[0,1]$ por lo que el truco es utilizar el conjunto de índices y tener un mapa

$j_n: [0,1] \to [0,1]_n:= [0,1] \times \{n\}, j_n(x)=(x,n)$ . Los conjuntos $[0,1]\times \{n\}$ son disjuntos para diferentes $n$ Así que ahora podemos hablar de la copia $0$ de $[0,1]$ , copia $1$ y así sucesivamente, y podemos definir inequívocamente $X = \bigcup_{n \in \Bbb N} [0,1]_n$ y dar la suma/unión la topología final con respecto a los mapas $j_n$ en $X$ . Como utilizamos la topología final, podemos demostrar la propiedad universal que necesitamos para una suma: al tener mapas continuos $f_n: [0,1] \to Y$ a algún espacio $Y$ para todos $n$ podemos definir un mapa único $f: X \to Y$ "por componente", es decir, tal que $f \circ j_n = f_n$ para todos $n$ . Es totalmente dual a la construcción del producto. En general, al haber hecho el $X_i$ disjuntos (también se puede demostrar que todos los $j_i$ son de hecho homeomorfismos, por lo que tenemos "copias" de cada $X_i$ dentro de $X$ ) nunca hay conflicto entre las copias al definir el mapa de suma.

La construcción de la suma no es muy importante en topología general, aunque puede ser una herramienta útil para algunas pruebas y ejemplos, a veces.