Derivar la frecuencia de antirresonancia a partir de la función de transferencia

Question

Actualmente estoy buscando una manera de derivar la frecuencia de antirresonancia de una función de transferencia (TF).

Parece que la frecuencia de resonancia se puede derivar de:

$\left\lvert G(jw) \right\rvert_{max} = \frac{\partial \left\lvert G(jw) \right\rvert}{\partial w} = 0$

ya que es la amplitud máxima del gráfico de magnitudes en el diagrama de bode.

Una forma fácil de realizar una aproximación sería calcular los ceros de la TF (similar a las frecuencias de los polos y su aproximación a la frec. de resonancia que están muy cerca, ver también Resonancia del diagrama de bode )

Un TF puede ser, por ejemplo:

$G(s) = \frac{1}{s^2(J_m+J_l)} \frac{J_l s^2 + ds + c}{\frac{J_m J_l}{J_m+J_l}s^2 + d s + c}$

el diagrama de Bode para $J_m = 0.002, J_l = 0.02, d = 0.5, c = 50$ es

Parcela de Bode

Answer 1

Bueno, en primer lugar podemos escribir:

$$\left|\text{G}\left(\omega\text{j}\right)\right|=\left|\frac{1}{\left(\omega\text{j}\right)^2\cdot\left(0.002+0.02\right)}\cdot\frac{\left(\omega\text{j}\right)^2\cdot0.02+\omega\text{j}\cdot0.5+50}{\frac{0.002\cdot0.02}{0.002+0.02}\cdot\left(\omega\text{j}\right)^2+\omega\text{j}\cdot0.5+50}\right|=$$ $$\frac{1}{\left|-\omega^2\cdot0.022\right|}\cdot\frac{\left|-\omega^2\cdot0.02+\omega\text{j}\cdot0.5+50\right|}{\left|-\frac{0.00004}{0.022}\cdot\omega^2+\omega\text{j}\cdot0.5+50\right|}=$$ $$\frac{1}{0.022\omega^2}\cdot\frac{\sqrt{\left(50-0.02\omega^2\right)^2+\left(0.5\omega\right)^2}}{\sqrt{\left(50-\frac{0.00004}{0.022}\cdot\omega^2\right)^2+\left(0.5\omega\right)^2}}\tag1$$

Dónde $\text{j}^2=-1$ .

Encontrar el punto en el Bodeplot que tenemos que resolver:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}\omega}\left(20\log_{10}\left(\left|\text{G}\left(\omega\text{j}\right)\right|\right)\right)=0\space\Longleftrightarrow\space\omega\approx53.8424\space\vee\space\omega\approx106.292\tag2$$