Ayuda sobre el subgrupo y el subgrupo normal

Question

Sabemos que un subgrupo N de un grupo abeliano G debe ser normal. Sin embargo, ¿es necesariamente cierto lo contrario? Una ilustración me lo aclararía.

Cualquier enlace de recursos o nombres de textos ilustrativos son bienvenidos, ya que soy nuevo en la Teoría de Grupos.

Answer 1

Ni siquiera es cierto que si cada subgrupo de $G$ es normal entonces $G$ debe ser abeliano. El ejemplo más pequeño es el grupo de cuaterniones de orden $8$ , $Q_8 = \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ . El subgrupo de orden $4$ es normal porque tiene índice $2$ ; el único subgrupo de orden $2$ es $\{\pm 1\}$ que es normal porque es igual al centro del grupo.

Los grupos en los que cada subgrupo es normal se denominan a veces "grupos Dedekind", y los grupos Dedekind no abelianos se denominan "grupos Hamiltonianos".

Answer 2

Al decir lo contrario, supongo que te refieres a que si un subgrupo $N$ de un grupo $G$ es normal, debe $G$ ser abeliano? Si es así, esto definitivamente no es cierto, y es una razón por la que los subgrupos normales son interesantes e importantes. El ejemplo más sencillo de un subgrupo normal en un grupo no abeliano es el subgrupo $N = \langle (1 2 3) \rangle \subset S_3$ .