Dejar $R$ sea un anillo y $I$ sea un conjunto de índices. Supongamos que $x \in \bigcap Ra_{i}$ donde $a_{i}\in R$ por cada $i \in I$ . Hace $x= \sum_{i=1}^{n} r_{i}a_{i}$ donde $r_{i} \in R$ por cada $i \in I$ ? es decir, es $x$ es una combinación lineal finita del $a_{i}$ ?
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mathma
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La respuesta a tu segunda pregunta es sí, una suma infinita es indefinida como elemento de tu anillo (a menos que puedas asignarle un valor como haces con las series convergentes en $\mathbb{R}$ ).
La respuesta a su primera pregunta es no. Considere los ideales $(2)$ y $(3)$ en $\mathbb{Z}$ entonces $1= (-1)\cdot 2 + (1)\cdot 3$ es una combinación lineal finita de $2$ y $3$ pero $1\not \in (2)$ y $1\not\in (3)$ . A partir de la ecuación $1=(-1)\cdot 2+ (1)\cdot 3$ puede escribir cualquier elemento en $\mathbb{Z}$ como una combinación de $2$ y $3$ pero el conjunto de tales combinaciones lineales no es la intersección en general.
En general, el producto de los ideales está contenido en la intersección, pero no es necesario que sea siempre igual. Por ejemplo $(2)\cap (3)= (6)=(2)\cdot(3)$ . Sin embargo, $(2)\cap (4)= (4)$ y $(2)\cdot(4)=(8)$ .
rschwieb
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Supongamos que $x \in \bigcap Ra_{i}$ donde $a_{i}\in R$ por cada $i \in I$ . Hace $x= \sum_{i=1}^{n} r_{i}a_{i}$ donde $r_{i} \in R$ por cada $i \in I$ ? es decir, es $x$ es una combinación lineal finita del $a_{i}$ ?
En su mayoría sí, pero un poco no. Mayormente sí, porque para todos $i\in I$ existe $r_i$ tal que $x=r_ia_i$ y eso es técnicamente una combinación lineal. Digo "un poco no" porque expresarlo en términos de combinaciones lineales es confuso e innecesario.
Los elementos de la intersección no tienen una única descripción en términos de todos los generadores, tienen descripciones múltiples utilizando cada generador ideal principal por separado.
La descripción es más apropiada para $\sum_{i\in I} Ra_i$ donde cada elemento es efectivamente de la forma que usted propuso.
La suma y la intersección son criaturas diametralmente distintas. Considerando su lugar en el conjunto de ideales izquierdos de $R$ la suma es un límite superior (en términos de teoría de categorías es un tipo de colímite) y la intersección es un límite inferior (en teoría de categorías, un tipo de límite).
