La función $f(x) = \sin(x)/x$ es Riemann Integrable desde $0$ a $\infty$, pero no es Lebesgue Integrable en ese mismo intervalo. (Nota, no es absolutamente Riemann Integrable.)
¿Por qué es restringimos nuestra definición de Lebesgue Integrabilidad absolutamente integrable? ¿No sería mejor ampliar nuestra definición para incluir TODOS los casos de Integrabilidad de Riemann tiene, y el uso de la definición actual como un corolario para cuando la integral impropia es absolutamente integrable?
Técnicamente hablando, la función $\displaystyle{f(x) = \frac{\sin x}{x}}$ es no es Riemann integrable en $(0, \infty)$, sino indebidamente de Riemann integrable en $(0, \infty)$.
La construcción de la integral de Riemann sólo funciona para delimitada intervalos. Podemos extender esta construcción unbounded intervalos, como $(0, \infty)$, pero que requiere un limitante del proceso. Es la primera construcción (las integrales de Riemann para delimitada integrales) que la integral de Lebesgue se generaliza.
Usted podría estar interesado en Henstock-Kurzweil (HK) integral. Su definición es una fácil modificación de la integral de Riemann. Todos Lebesgue integrable funciones son integrables en el HK-sentido, y así es su función $\sin(x)/x$. La costumbre teoremas de la teoría de Lebesgue (tales como el teorema de convergencia dominada) de extensiones para el HK teoría. En la parte superior de que, Newton-Leibniz fórmula se cumple para cualquier función de la admisión de un anti-derivativo (lo cual no es cierto en la teoría de Lebesgue).
Dicho esto, usted definitivamente necesidad de Lebesgue de la teoría de espacios diferentes de $\mathbb{R}^n$. Observe también que $\mathbb{R}^2$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ como una medida de espacio (y que cualquier medida oportuna espacio es isomorfo a un intervalo); se perdería esta unidad si quisieras por ejemplo, $\sin(x)/x$ para ser integrable.
Parece que nadie ha mencionado el teorema de Fubini todavía. Considere este ejemplo: $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dy\,dx = \frac\pi4, $$ pero $$ \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2} \,dx\,dy = -\frac\pi4. $$ Simplemente intercambiando $dy$ y $dx$ cambios en el valor de la integral. El teorema de Fubini dice que no puede suceder si la integral del valor absoluto es finito.
Así que esa es otra razón por la convergencia absoluta es importante.
(Sin la evaluación de cualquiera de las dos integrales arriba, se puede ver rápidamente que si se intercambian los $dx$ y $dy$ es el mismo que dejarlos como están, pero intercambiando $x$ y $y$ en otros lugares, y en este caso que simplemente invirtiendo el orden de la resta; de ahí la multiplicación de la línea de fondo por $-1$. Por lo tanto, puede seguir siendo la misma, sólo que si la integral es de $0$.)
Voy a agregar un adicional de respuesta basada en la respuesta de mi profesor de teoría de la medida, como puede ser de uso.
Esencialmente, su respuesta fue que el propósito de la Integración de Lebesgue es hacer que el conjunto de las funciones integrables completa. (Recordemos que podemos formar una secuencia de Riemann Integrable funciones que converge a una función que no es Riemann Integrable.) Como fue señalado por @Carl Mummert en su respuesta, las cosas de interés en la Teoría de Lebesgue son teoremas de convergencia (que se vinculan a esta noción de integridad), no una teoría de las integrales para clases específicas de las funciones.
Como tal, no es que la definición de Lebesgue Integrabilidad no es tan amplia como podría ser, pero que es lo suficientemente amplia como para asegurar la integridad.
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