Mapeo a Grupo que está multiplicando dos grupos

Question

El contexto, estaba tratando de mostrar $$H\cong \frac{HN}{N}$$ cuando $H\le G, N\lhd G,$ $H\cap N=\{e\}$

Pero me quedé atascado, así que tuve que comprobar el argumento y me dieron en la primera línea que

al establecer $HN=\{hn|h\in H, n\in N\}$

Existe un homomorfismo surjetivo $\varphi : H \to HN, \varphi (h)=hN$

Lo cual me parece que no tiene sentido por 2 cosas.

1. $\varphi : H \to HN$ Sin embargo, $\varphi (h)=hN$ que es -creo- forma de función que $H \to\ H/N$ la función de mapeo del grupo cociente. HN tiene un elemento que es la multiplicación de cada elemento de H y N. Sin embargo $\varphi (h)=hN$ mapea h a hN que es la forma del coset.

   Para mí, este conjunto de funciones $\varphi$ no se ajusta a la situación dada.

2. Dado el argumento de que $\varphi$ es suryente. Pero, a menos que N sea un grupo unitario, ¿cómo puede el mapeo $\varphi : H \to HN$ ¿puede ser sobreyectiva? Después de todo $|H|\lt |HN|$

Creo que el problema aquí es que mis conocimientos sobre la notación cartográfica del grupo cociente son erróneos como $\phi (g) = gN$ No siempre tiene que indicar el mapeo al grupo cociente tal vez...

Soy muy principiante en los grupos de aprendizaje pls ayudarme LV.100 matemáticos super sociedad...

Answer 1

Nota: $hN$ no es un elemento de $HN$ que es igual a $$HN = \{hn\mid h\in H, n\in N\}.$$ Así que el mapa que propones ni siquiera tiene sentido (y desde luego no es un homomorfismo sobreyectivo).

Mejor: definamos un mapa $f\colon HN\to H$ y luego demostrar que es un homomorfismo, es onto, y el núcleo es $N$ .

¿Qué mapa? Bueno, dejemos que $f(hn) = h$ .

En primer lugar, demostramos que está bien definida: si $h_1n_1 = h_2n_2$ entonces $h_2^{-1}h_1 = n_2n_1^{-1}$ . Como el lado izquierdo está en $H$ y el lado derecho está en $N$ y $H\cap N = \{e\}$ entonces $h_2^{-1}h_1 = n_2n_1^{-1} = e$ Así que $h_1=h_2$ , $n_1=n_2$ es decir, la expresión de los elementos de $HN$ como producto de algo en $H$ y algo en $N$ es único, por lo que $f$ está bien definida.

En segundo lugar, demostramos que $f$ es en: esto es fácil, ya que dado $h\in H$ sabemos que $he \in HN$ y $f(he) = h$ por definición. Así que $f$ está en.

En tercer lugar, demostramos que $f$ es un homomorfismo. Para demostrarlo, dejamos que $h_1,h_2\in H$ , $n_1,n_2\in N$ . Tenemos que averiguar cómo escribir $(h_1n_1)(h_2n_2)$ como elemento de $HN$ para saber cuál es la imagen del producto. Tenemos $$\begin{align*} (h_1n_1)(h_2n_2) &= h_1(h_2h_2^{-1})n_1h_2n_2\\ &= h_1h_2 (h_2^{-1}n_1h_2)n_2. \end{align*}$$ Ahora bien, como $N$ es normal, $h_2^{-1}n_1h_2=n_3$ para algunos $n_3\in N$ Así que $(h_1n_1)(h_2n_2) = (h_1h_2)(n_3n_2)$ .

¿Puedes llevarlo desde aquí?