Es fácil demostrar que el centro de SU(n) es $\mathbb{Z}_n$ de su definición, siendo los elementos $e^{i2\pi m/n}$ . Sin embargo, para $N>2$ no he visto en ningún sitio que se den los generadores explícitos de los mismos, es decir, unos coeficientes $\omega_j$ para que $e^{i\omega_jT^j}=e^{i2\pi/n}$ , donde $T^j$ son los generadores en la representación fundamental. ¿Existe una expresión general de dichos coeficientes $\omega_j$ ?
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user1389651
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Centro de SU(N) en la representación fundamental
En la representación fundamental, los elementos del álgebra de Lie son $N\times N$ matrices hermitianas sin rastro.
Utilice $e_{ij} $ para representar la matriz en la que sólo el elemento de la i-ésima fila y la j-ésima columna es distinto de cero, para cualquier matriz unitaria \begin{equation} U = \exp( i \sum_{i=1}^N x_i e_{ii} + \sum_{i<j} z_{ij} e_{ij} + \sum_{i > j } \bar{z}_{ij} e_{ij} ) \quad x_i \in \mathbb{R}, \sum_{i=1}^N x_i = 0 \,\, z_{ij} \in \mathbb{C} \end{equation}
Los elementos del centro conmutan con cualquiera de los otros elementos del grupo, es decir, si $c \in Z(\text{SU}(N))$ entonces \begin{equation} U c = c U \implies c = Uc U^{\dagger} \quad \forall U \in \text{SU(N)} \end{equation}
Ahora toma $\partial_{z_{ij}}$ derivada en esta expresión y luego evaluar el valor en $U = I$ tenemos \begin{equation} 0 = i e_{ij} c - ic e_{ij} \implies [ e_{ij}, c] = 0 \end{equation} El $\partial_{\bar{z}_{ij}}$ derivada ampliar la gama de $i,j$ a todos los pares de $i\ne j$ . El cálculo del conmutador para un par de $i,j$ muestra que la iª fila, la jª fila, la iª columna y la jª columna de $c$ son cero excepto el elemento diagonal. Además, los dos elementos diagonales son iguales. Al iterar sobre todos los pares de $i,j$ entonces implica $c = \omega I$ , donde $\omega$ es una constante.
Al ser un elemento de grupo unitario especial, c tiene $\det c = \omega^N = 1$ Así que $\omega$ es la raíz de la unidad. Por lo tanto, hemos construido el centro del grupo unitario especial: \begin{equation} Z( \text{SU(N)} ) = \left\{ \exp\left( 2\pi i \frac{m}{N} \right) I | m = 1, 2, \cdots, N \right \} = \mathbb{Z}_N \end{equation} y su elemento se puede generar tomando \begin{equation} x_i = \left\lbrace \begin{aligned} &2\pi \frac{m}{N} & \quad 1 \le i \le N-1 \\ &-2\pi \frac{m(N-1)}{N} & \quad i = N\ \end{aligned} \derecha. \Fin de la ecuación.
