Demostrando que los puntos del círculo unitario tienen la misma infinidad de elementos que $\mathbb{R}$

Question

Sé que usando el teorema de Bernstein, simplemente necesito encontrar dos funciones uno a uno que mapeen desde el círculo unitario a $\mathbb{R}$ y viceversa.

Pensé que algo como $f(x, y)=\arctan\big(\frac{x}{y}\big)$ podría funcionar como un mapeo del círculo unitario a $\mathbb{R}$ pero parece que no es uno a uno ya que parece haber problemas cuando $y=0$ . Tampoco se me ocurre una función uno a uno que mapee de los reales al círculo unitario.

¿Hay una manera mejor de hacer este problema?

Answer 1

Aquí hay una que debería haber sabido cuando empecé a enseñar Cálculo, pero no lo hice hasta varios años después: $$ t\mapsto\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right)\,. $$ Para $t\in\Bbb R$ golpea todos los puntos del círculo de la unidad, salva $(0,-1)$ . Seguro que sabes que no es posible hacer un mapa bicontinuo entre la recta real y el círculo. Pero se puede tomar la fórmula mostrada arriba y engancharla con la función discontinua adecuada para que sea una correspondencia totalmente unívoca.

Answer 2

Aquí tienes dos ideas geométricas para utilizar. En primer lugar, corte el círculo y colóquelo sobre la tira $[0,2\pi)$ para la inyección del círculo a los reales. Para ir de los reales a la circunferencia, trazamos una línea que pase por el punto $(0,1)$ y cualquier punto del eje x. Esto intersectará el círculo en un único punto, por lo que hay un mapeo uno a uno de los reales al círculo sin el punto en $(0,1)$ y tienes las dos inyecciones.

Answer 3

He aquí una construcción directa de una biyección $\mathbb R \to S^1$ que evita el teorema de Schröder-Bernstein.

Para empezar, la función $f(x) = (\cos x, \sin x)$ es una biyección de $[0,2\pi)$ a $S^1$

Así que ahora todo lo que necesitas es otra biyección $g : \mathbb R \to [0,2\pi)$ con la que obtenemos la biyección deseada $f^{-1} \circ g : \mathbb R \to S^1$ .

Para construir $g$ , comience por subdividir $[0,2\pi)$ en una secuencia de subintervalos semiabiertos: $$ [0,2\pi) = \underbrace{[0, \frac{1}{2} \cdot 2\pi)}_{I_1} \cup \underbrace{[\frac{1}{2} \cdot 2\pi, \frac{3}{4} \cdot 2\pi)}_{I_2} \cup \underbrace{[\frac{3}{4} \cdot 2\pi,\frac{7}{8} \cdot 2\pi)}_{I_3} \cup \cdots $$ Además, subdivide $\mathbb R$ en una secuencia bi-infinita de intervalos semiabiertos: $$\mathbb R = \cdots \cup \underbrace{[-2,-1)}_{J_{-2}} \cup \underbrace{[-1,0)}_{J_{-1}} \cup \underbrace{[0,1)}_{J_{0}} \cup \underbrace{[1,2)}_{J_1} \cup \underbrace{[2,3)}_{J_2}\cdots $$ Ahora elija su bijección favorita $$\sigma : \{1,2,3,\ldots\} \to \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} $$ y escribirlo como una secuencia, por ejemplo $$(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4,\sigma_5,\ldots) = (0,1,-1,2,-2,\ldots) $$ Para cada $i=1,2,3,\ldots$ , elija una biyección $$g_i : J_{\sigma_i} \to I_i $$ que es posible para dos intervalos semiabiertos cualesquiera.

Por último, defina $$g(x) = g_i(x) \quad\text{if $ x en J_{sigma_i} $} $$