¿Por qué la forma de matar $\mathfrak{g}$ restringido a una subálgebra $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{g}$ no la forma de Matar de $\mathfrak{a}$ ?

Question

Sé que la forma de matar de $\mathfrak{g}$ restringido a un ideal $I \subset \mathfrak{g}$ es sólo la forma de matar de $I$ .

Sin embargo, qué ocurre en general si relajamos las condiciones y sólo consideramos la forma de Killing restringida a una subálgebra $\mathfrak{a} \subset \mathfrak{g}$ ?

Answer 1

En cuanto a la pregunta "por qué":

La forma de matar de $\mathfrak{a}$ viene dada por

$$k_1(x,y) := Tr (ad_{\color{red}{\mathfrak{a}}}(x) \circ ad_{\color{red}{\mathfrak{a}}}(y))$$

para $x,y \in \mathfrak{a}$ mientras que la forma Killing de $\mathfrak{g}$ restringido a $\mathfrak{a}$ viene dada por

$$k_2(x,y) := Tr (ad_{\color{red}{\mathfrak{g}}}(x) \circ ad_{\color{red}{\mathfrak{g}}}(y))$$

para $x,y \in \mathfrak{a}$ . La segunda implica "matrices más grandes", es decir, más información, a saber, cómo $x,y$ operar en todo el $\mathfrak{g}$ mientras que en el caso del primero, nos olvidamos de todo lo relacionado con su actuación fuera de $\mathfrak{a}$ . Para ver ejemplos de cómo eso puede marcar la diferencia, consulte la otra respuesta.

Ahora bien, si $\mathfrak{a}$ resulta ser un ideal entonces las "matrices mayores" en el segundo caso tienen en realidad una cierta forma de bloque, de modo que las trazas están completamente determinadas por los bloques que corresponden a $ad_{\color{red}{\mathfrak{a}}}$ de los elementos respectivos, y por eso en ese caso, nuestras dos opciones son las mismas. Merece la pena que intentes escribir tú mismo estas "formas de bloque" para ver lo que ocurre. (Ya está hecho (¡Atención a los spoilers!) aquí .)

Answer 2

La pregunta "¿qué pasa?" se responde mejor con un ejemplo, así que la primera pregunta es: ¿dónde encontramos ejemplos de subálgebras que no sean ideales?

He aquí una clase de ejemplos. Consideremos el álgebra de Lie real $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ de sin rastro $n$ -por- $n$ matrices. Tiene una descomposición de Cartan $\mathfrak{g} = \mathfrak{k} \oplus \mathfrak{p}$ donde $\mathfrak{k}$ es el $(n(n-1)/2)$ -de matrices antisimétricas y $\mathfrak{p}$ el $(n(n+1)/2 - 1)$ sub-dimensional espacio (no álgebra) de matrices simétricas. Dentro de $\mathfrak{p}$ existe una subálgebra abeliana maximal única hasta la conjugación $\mathfrak{a}$ que también podríamos (y, siguiendo la convención, lo haremos) tomar como el $n-1$ -subálgebra abeliana de matrices diagonales.

Lo bueno de este montaje (bueno, en realidad hay muchas cosas aún más bonitas, por eso estos nombres son estándar, pero bueno) es que ni $\mathfrak{k}$ ni $\mathfrak{a}$ es un ideal en $\mathfrak{g}$ .

Veamos $\mathfrak{a}$ primero. Es abeliano por lo que la forma de matar de $\mathfrak{a}$ mismo es $0$ . Sin embargo, la restricción de la forma de matar $\mathbb{g}$ a $\mathfrak{a}$ no lo es. Podemos descomponer $\mathfrak{g}$ como la suma directa de $\mathfrak{a}$ y un grupo de espacios de raíces para la acción adjunta de $\mathfrak{a}$ (en otras palabras: podemos tratar $\mathfrak{a}$ como una subálgebra de Cartan, esto se debe a que $\mathfrak{g}$ es dividir ) y por lo tanto encontramos que $ad(A)$ para algún elemento $A \in \mathfrak{a}$ es diagonal con $n-1$ ceros, $n(n-1)/2$ entradas iguales a $2$ y $n(n-1)/2$ entradas iguales a $-2$ .

De ello se desprende que $(A, A) = 4n(n-1)$ que es bastante diferente de $0$ . Aquí $(.,.)$ denota la forma killig de $\mathfrak{g}$ . $(A_1, A_2)$ para diferentes elementos de $\mathfrak{a}$ dan múltiplos de 4 más cercanos (en valor absoluto) a cero, pero es cero sólo si $A_1 = -A_2$ .

El caso de la subálgebra $\mathfrak{k}$ es bastante diferente, pero tengo que correr ahora, tal vez vuelva a ello más tarde, o puedes probarlo tú mismo.