Encontrar la matriz de una transformación lineal

Question

Si T : $\mathbb R^{3}$$ |mapas para $$\mathbb R^{3}$ es una transformación lineal tal que

T $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$ , $T$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} -1 \\ -1\\ 3\\ \end{pmatrix}$ , $T$ $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ -1\\ \end{pmatrix}$ entonces $T$ $\begin{pmatrix} -5\\ 4 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} ? \\ ? \\ ? \\ \end{pmatrix}$

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No sé por dónde empezar con esta pregunta, he intentado hacer RREF de los números de transformación pero me parece que está mal.

Answer 1

Definir $\vec e_i = (0, \dots, 1, 0, \dots)$ donde el 1 está en el $i^\text{th}$ posición. A continuación, tenga en cuenta que su pregunta es

$$ T(-5\vec e_1 + 4 \vec e_2 + 4 \vec e_3) = -5\pmatrix{3 \\ 1 \\ 4} + 4\pmatrix{-1 \\ -1 \\ 3} + 4\pmatrix{4 \\ -3 \\ -1} = \pmatrix{-3 \\ -21 \\ -12}.$$

Answer 2

Para ampliar mi comentario anterior ya que @Gregory ya dio la respuesta utilizando un método:

Dada la información sobre cómo $T$ actúa sobre la base de la norma, sabiendo $T\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\1\\4\end{bmatrix}$ y así sucesivamente, esto le dice exactamente cómo representar $T$ como una matriz. Las columnas de $T$ son simplemente los resultados correspondientes de $T$ que se aplica a los vectores base estándar.

Obtenemos entonces $T=\begin{bmatrix}3&-1&4\\1&-1&-3\\4&3&-1\end{bmatrix}$ y por lo tanto todo lo que le queda a su problema es completar la aritmética matricial necesaria.

Answer 3

Dejemos que $\{ e_1,e_2,e_3 \}$ sea la base canónica (estándar) de $\mathbb{R}^3$ . Tenga en cuenta que para cualquier $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ podemos escribir $(x,y,z)=ze_1+ye_2+ze_3$ . Por lo tanto, $T(x,y,z)=T(xe_1+ye_2+ze_3)$ y utilizando la linealidad $$T(x,y,z)=T(xe_1)+T(ye_2)+T(ze_3)=xT(e_1)+yT(e_2)+zT(e_3)$$ y por hipotesis $$T(x,y,z)=x(3,1,4)+y(-1, -1, 3)+z(4,-3,-1)=(3x-y+4z, x-y-3z, 4x+3y-z).$$ Finalmente, $$T(-5,4,4)=(-15-4+16,-5-4-12, -20+12-4)=(-3, -21, -12).$$