Integral indefinida $\int \arcsin \left(k\sin x\right) dx$

Question

Sería demasiado largo de explicar el contexto razonablemente bien, pero en resumen, esta integral, o más bien su equivalente $$\int\frac{x\cos x\,dx}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}},\qquad 0<k<1$$ está relacionado con la generación de la función de una transformación canónica entre los distinguidos dos juegos de local de coordenadas de Darboux en un determinado $SL(2,\mathbb{C})$ carácter de la variedad.

Agradecería cualquier ayuda con el cálculo de esta integral. Sería muy bueno escuchar a la gente industrialmente adivinar la forma cerrada expresiones para las integrales que se ven mucho menos computables. La respuesta se le otorgará una recompensa, a menos que yo se las arreglan para encontrar a mí mismo en primer lugar.

P. S. tengo razones para creer que

1. La respuesta se puede encontrar en forma cerrada.

2. Por otra parte, espero que sea dado por una combinación lineal de dilogarithms $\operatorname{Li}_2(\cdot)$ con argumentos expresados en términos de funciones elementales (aproximadamente, raíces cuadradas y funciones trigonométricas).

P. P. S. yo, a propósito, no de la etiqueta de mi pregunta como "integración", "cálculo", etc, ya que estos pasan a ser ignorado las etiquetas de algunos altamente calificados participantes. Por favor, no modifique este!

Answer 1

Deje que nos indican $$ \mathcal{I}\left(k,x\right)=\int_0^x \eta\left(y\right)dy, \qquad \eta\left(y\right)=\arcsin\left(k\sin y\right).$$ Resultó que esta integral puede ser calculada de manera bastante sencilla. Es decir, hagamos las siguientes observaciones:

1. Tenemos $$ \eta\left(x\right)=\frac{1}{2}\left[\ln\left(1+k\, e^{i\left(x+\eta(x)\right)}\right)-\ln\left(1+k\, e^{-i\left(x+\eta(x)\right)}\right)\right]$$
2. También, \begin{align*} 2\left[1+\frac{k\,\cos x}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}\right]\times\frac{1}{2i}\left[\ln\left(1+k\, e^{i\left(x+\eta(x)\right)}\right)-\ln\left(1+k\, e^{-i\left(x+\eta(x)\right)}\right)\right]=\\ =\frac{d}{dx}\left[\operatorname{Li}_2\left(-k\,e^{i\left(x+\eta(x)\right)}\right)+ \operatorname{Li}_2\left(-k\,e^{-i\left(x+\eta(x)\right)}\right)\right] \end{align*}
3. Y por último: \begin{align*} \eta'\left(x\right)=\frac{k\,\cos x}{\sqrt{1-k^2\sin^2x}}. \end{align*}

La combinación de estas tres fórmulas, obtenemos \begin{align*}\boxed{ \;2\mathcal{I}\left(k,x\right)=\operatorname{Li}_2\left(-k\,e^{i\left(x+\eta(x)\right)}\right)+ \operatorname{Li}_2\left(-k\,e^{-i\left(x+\eta(x)\right)}\right)-2\operatorname{Li}_2\left(-k\right)-\eta^2\left(x\right)\;} \end{align*}