Ángulos entre subespacios-problema de la corrección de su definición

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean subespacios lineales de $\mathbb R^n$ de las dimensiones $k$ y $l$ respectivamente, con $k \leq l$ . Los ángulos canónicos entre $X$ y $Y$ $0\leq \phi_1 \leq \phi_2\leq \phi_k \leq \frac{\pi}{2}$ se definen recursivamente por \begin{align*} \cos \phi_k=\max \{ |\langle x,y\rangle|: x\in X, y\in Y, &\|x\|=\|y\|=1, x\bot x_i, y\bot y_i \textrm{ for } i=1,...,k-1 \} \\&= |\langle x_k,y_k\rangle|. \end{align*}

Obviamente, $\phi_1$ está bien definida y por compacidad de la esfera $S^1$ en $\mathbb R^n$ $\cos \phi_1=|\langle x_1,y_1\rangle|$ para algunos $x_1,y_1 \in S^1$ , $x_1 \in X$ , $y_1 \in Y$ . Pero tal $x_1,y_1$ no son únicos. ¿Por qué entonces $\phi_2$ se define de forma única y no depende de la elección de $x_1, y_1$ ? Del mismo modo, otros ángulos $\phi_3,...,\phi_k$ ¿se definen correctamente?

Gracias

Answer 1

Es cierto que $x_i$ y $y_i$ no son únicos, pero sus complementos ortogonales son únicos. Así que en cada paso del proceso se está minimizando sobre un subconjunto de la esfera unitaria definido de forma única. Por ejemplo, si $X$ y $Y$ son planos de intersección en el espacio tridimensional, $\phi_1=0$ realizado en cualquier par $x_1,y_1$ con norma unitaria en su línea de intersección. Pero entonces $\phi_2$ se define unívocamente como el ángulo diedro, ya que el complemento ortogonal es un plano ortogonal a la intersección de $X$ y $Y$ , lo que nos da dos líneas de intersección, para las que el ángulo está determinado de forma única. Lo mismo ocurre en dimensiones superiores.

Answer 2

Si $Q,R$ son bases ortonormales de $X$ y $Y$ respectivamente, entonces los valores singulares de $Q^TR$ son los cosenos de los ángulos que has definido.

https://en.wikipedia.org/wiki/Angles_between_flats

Así, el hecho de que los valores singulares estén bien definidos es suficiente.