Es una función sublineal lsc $X^* \rightarrow (-\infty, \infty]$ siempre es una función de soporte para alguna función cerrada no vacía $C \subset X$ ?

Question

No puedo encontrar ningún recurso sobre esto, aunque parece una pregunta obvia. El teorema de separación implica que, si tenemos una función sublineal lsc $\phi : X^* \rightarrow (-\infty, \infty]$ y es igual a una función de soporte $\mathrm{supp}_C$ entonces $C$ debe ser el conjunto: $$C = \bigcap\limits_{f \in X^*} f^{-1}(-\infty, \phi(f)].$$ Además, podemos ver fácilmente que, si definimos $C$ como en el caso anterior, entonces $\mathrm{supp}_C \le \phi$ .

Ciertamente $C$ es cerrado y convexo. Parece que no puedo demostrar ni siquiera eso $C$ no está vacío, pero tengo la sospecha de que esto puede ser la mayor parte de la batalla. También sospecho que esto está condicionado por $X$ ser reflexivo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Dejemos que $\phi:X^*\rightarrow\mathbb{R}\cup\{\infty\}$ sea un funcional lsc débil* sublineal. Si suponemos $\phi$ es propio (es decir $\phi\not\equiv \infty$ o equivalentemente su dominio esencial es no vacío) entonces para algún $x^*$ en su ámbito esencial $\phi(x^*)<\infty$ . Los dos subconjuntos siguientes $\{(x^*,\phi (x^*)-1)\}$ (un subconjunto compacto débil*) y $\mathbb{epi}\phi:=\{(f,\beta)\in X^*\times\mathbb{R};\ \phi(f)\leq\beta\}$ (un subconjunto cerrado débil*) son convexos y disjuntos por lo que por un teorema de separación se pueden separar mediante un funcional lineal débil*-continuo $(x,\lambda)\in X\times\mathbb{R}$ por lo que

$$x^*(x)+\lambda\cdot(\phi(x^*)-1)\leq f(x)+\lambda\cdot\beta$$

para cualquier $(f,\beta)\in\mathbb{epi}\phi$ . Desde $\beta$ en no acotado por encima de $\lambda$ debe ser no negativo, y para $\beta=\phi(f)$ obtenemos

$$x^*(x)+\lambda\cdot(\phi(x^*)-1)\leq f(x)+\lambda \phi(f)$$

para cualquier $f\in \mathbb{dom}\phi$ . Por supuesto, la desigualdad anterior es válida incluso para $f\notin \mathbb{dom}\phi$ ya que en ese caso el lado derecho de la desigualdad es $\infty$ . Desde $x(\cdot)+\lambda \phi(\cdot):X^*\rightarrow \mathbb{R}$ es sublineal y está limitada por debajo (por la constante $x^*(x)+\lambda\cdot(\phi(x^*)-1)$ ) debe ser no negativo (ejercicio) por lo tanto

$$f(-\frac{1}{\lambda}x)\leq\phi(f) \ \forall f\in X^*$$

por lo que podemos concluir que $-\frac{1}{\lambda}x\in C$ y $C\not=\emptyset$ .

Algunas observaciones:

1. Suponemos que $\phi$ es adecuado. Si no lo es, entonces $C=X$ por lo que $C\not = \emptyset$ .

2. Ya que has mencionado la reflexividad, añadiré que en el caso de que $X$ es reflexiva, las topologías débil-* y normativa coinciden, por lo que puede considerar la segunda en lugar de la primera.

3. También afirmó que si $\phi$ es una función de soporte en algún conjunto, este conjunto debe ser $C$ lo cual es falso, como puede verse fácilmente en el ejemplo $\phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ definido por $\phi(x):=\max\{x,-x\}$ (intente encontrar $C$ en este caso).

4. El teorema de separación utilizado anteriormente establece que en un espacio localmente convexo (en particular un espacio dual), un subconjunto compacto y un subconjunto cerrado que son convexos y disjuntos pueden estar (fuertemente) separados por un funcional lineal continuo.

5. Se puede sustituir el espacio $(X^*,\sigma(X^*,X))$ arriba con cualquier espacio localmente convexo.