¿Qué es un local (categoría de locales) y cómo se relaciona este concepto con el de marco? ¿Podría explicarlo sin matemáticas avanzadas (sólo algo de análisis real, análisis funcional y álgebra abstracta básica)?
Respuesta
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El concepto de localidad es una generalización del espacio topológico en el contexto de la topología sin puntos. En otras palabras, uno se da cuenta de que los puntos no son realmente necesarios en la definición esencial de la topología, y que en realidad uno puede olvidarse de ellos en absoluto, si quiere concentrarse sólo en el significado intrínseco de la topología.
Definición. A localidad $\mathfrak{X}$ es un álgebra de Heyting completa, es decir, consiste en un conjunto parcialmente ordenado $(X,\leq)$ con dos operaciones: $$ \vee : \prod_{i\in I} X \longrightarrow X$$ para cualquier conjunto $I$ y $$ \wedge : X\times X\longrightarrow X$$ tal que
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$(X,\wedge,\vee)$ es un entramado completo: para cada $a,b\in X$ tenemos $a\wedge b \leq a,b$ y $a,b\leq a\vee b$ ;
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la ley distributiva infinita se mantiene, es decir, para cada $a\in X$ $$ a\wedge \bigvee_{i\in I} b_i =\bigvee_{i\in I}(a\wedge b_i)$$ donde $I$ es un conjunto cualquiera y $b_i\in X$ para cada $i\in I$ .
Esta definición imita a la de topología: en efecto, toda topología sobre un conjunto $T$ es una localidad, sólo con poner $\mathfrak{X}:=(\mathrm{Op}(T),\subseteq)$ y $\wedge :=\cap,\vee:= \cup$ .
Los locales forman una categoría, lo que significa que tenemos que describir también los morfismos entre locales. En efecto, si $\mathfrak{X},\mathfrak{Y}$ son dos locales, entonces un morfismo de locales $\varphi :\mathfrak{X}\longrightarrow \mathfrak{Y}$ consiste en un morfismo de conjuntos parcialmente ordenados $\varphi :(Y,\leq_Y)\longrightarrow (X,\leq_X)$ , de tal manera que $$\varphi(a\wedge_Y b)=f(a)\wedge_Y f(b)$$ y
$$f\left (\bigvee_{i\in I} b_i \right )=\bigvee_{i\in I}f(b_i)$$
Obsérvese que, dados los espacios topológicos $T,S$ y los locales asociados $\mathfrak{X}_T,\mathfrak{X}_S$ de conjuntos abiertos, entonces una función continua $f:X\longrightarrow Y$ da lugar a un morfismo de locales $\varphi:\mathfrak{X}_T\longrightarrow \mathfrak{X}_S$ estableciendo, para cada $U\in \mathfrak{X}_S$ , $$\varphi (U):=f^{-1}(U)$$
Lo contrario es igualmente cierto, si los locales pueden convertirse en espacios topológicos.
Marcos. Llamemos $\mathbf{Loc}$ la categoría de locales. A marco es un objeto de la categoría opuesta a $\mathbf{Loc}$ . Esto significa que un marco sigue siendo un álgebra de Heyting completa como una localidad, pero hay que hacer un cambio complicado en los morfismos. Esta vez, un morfismo de marcos $\varphi:\mathfrak{X}\longrightarrow \mathfrak{Y}$ es lo mismo que un morfismo de locales $\varphi^\circ :\mathfrak{Y}\longrightarrow \mathfrak{X}$ .
