Tengo tres vectores, $X$ , $Y$ y $Z$ . Cada elemento de $X$ se distribuye normalmente de forma independiente $X_i\sim N(0,\sigma^2_X)$ .
Los elementos de $Y$ y $Z$ se distribuyen normalmente de forma conjunta:
$\left[ \begin{array}{c}Y_i\\ Z_i\end{array}\right]\sim N\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}\sigma^2_Y & \rho \\ \rho & \sigma^2_Z\end{array}\right]\right)$
Así que, naturalmente, $E(X'Y)=E(X'Z)=0$ .
Sin embargo, en muestras finitas, $X'Y$ no tiene que ser cero.
¿Qué puedo decir sobre $E(X'Z)$ condicionada a mi observación de la muestra de $X'Y$ ? En otras palabras, ¿puedo decir algo sobre $E(X'Z|X'Y)$ ?
Siento que probablemente no sea un problema súper difícil, pero lo he abordado de diferentes maneras y no he podido avanzar mucho (aparte de una simulación, que me da una respuesta pero no el por qué, o lo condicionada que está a los parámetros que establezco), lo que me hace pensar que me estoy perdiendo algo obvio.
Mientras escribía esto se me ocurrió que probablemente podría calcular una distribución de $X'Z$ con la condición de $X'Y$ de la distribución de Wishart. Pero yo, espero que sea más simple que eso.
