Triangulaciones procedentes de un poset. O: ¿Qué condiciones son necesarias y suficientes para que un complejo simplicial finito sea el complejo de orden de un poset?

Question

Todo conjunto parcialmente ordenado da una triangulación de (la realización geométrica de) su complejo de orden. (Los n-símbolos del complejo de orden son las cadenas $x_0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n$ .) Sin embargo, hay triangulaciones de espacios topológicos que no surgen de esta manera.

¿Existe un nombre para las triangulaciones que tienen esta propiedad especial de "venir de un poset"?

EDIT: Aparentemente, la siguiente formulación de mi pregunta es más limpia: ¿qué condiciones son necesarias y suficientes para que un complejo simplicial finito sea el complejo de orden de un poset?

Answer 1

Aquí están las condiciones necesarias y suficientes para un complejo simplicial abstracto y finito $\mathcal{S}$ para ser el complejo de orden de algún conjunto parcialmente ordenado.

(i) $\mathcal{S}$ no tiene caras perdidas de cardinalidad $\geq 3$ y

(ii) El gráfico dado por las aristas (= $1$ -de las simplices de la dimensión) de $\mathcal{S}$ es una comparabilidad.

[Definiciones. (a) Un cara perdida de $\mathcal{S}$ es un subconjunto $M$ de sus vértices (= $0$ -de la dimensión de las simplices) tal que $M \not \in \mathcal{S}$ pero todos los subconjuntos adecuados $P\subseteq M$ satisfacer $P\in \mathcal{S}$ . (b) Un grafo (=grafo no dirigido sin bucles ni aristas múltiples) es un comparabilidad si sus aristas pueden ser orientadas transitivamente, lo que significa que siempre que las aristas $\{p, r_1\}, \{r_1, r_2\},\ldots, \{r_{u−1}, r_u\}, \{r_u, q\}$ se orientan como $(p, r_1), (r_1, r_2),\ldots, (r_{u−1}, r_u), (r_u, q)$ entonces existe una arista $\{p, q\}$ orientado como $(p, q)$ .]

Esta caracterización aparece con un esbozo de prueba $-$ que no es difícil, de todos modos $-$ en

M. M. Bayer, Subdivisiones baricéntricas . Pacific J. Math. 135 (1988), no. 1, pp. 1-16.

Como señala Bayer, el resultado se observó por primera vez en

R. Stanley, Complejos de Cohen-Macaulay equilibrados , Trans. Amer. Math. Soc, 249 (1979), pp. 139-157.

@Rasmus y @Gwyn: La caracterización quizá os decepcione si esperabais algo más topológico. Sin embargo, es fácil demostrar que no es posible ninguna caracterización topológica de los complejos de orden, y por tanto una condición combinatoria como la de las comparabilidades debe se utilice. Para ello, primero hay que comprobar que la subdivisión baricéntrica de cualquier El complejo simplicial es efectivamente un complejo de orden. A continuación observamos que la subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial no cambia el tipo de homeomorfismo del poliedro subyacente del complejo. Por último, concluir que para cualquier espacio topológico $T$ que es homeomorfo a un poliedro compacto, existe un complejo de orden cuyo poliedro subyacente es homeomorfo a $T$ .

Espero que esto ayude.

Answer 2

Para reformular su pregunta, ¿qué condiciones son necesarias y suficientes para que un complejo simplicial sea un complejo de orden?

También hay algunas condiciones necesarias fáciles. Por un lado, cualquier complejo simplicial es el complejo de Stanley-Reisner de un ideal monomial libre de cuadrado (etiquetar cada vértice con una variable, y los mínimos no-faces en el complejo simplicial son exactamente los generadores monomiales del ideal). Para todos los complejos de orden, su ideal de Stanley-Reisner es un ideal de aristas (es decir, un ideal monomial libre de cuadrados generado en grado 2, llamado "ideal de aristas" porque puede pensarse que corresponde a un grafo G con una arista por cada generador). Esto es inmediato, porque una "no cara" mínima en el complejo de orden es un par de elementos incomparables, por lo que todos los generadores deben ser de grado 2. Esto reduce rápidamente los tipos de complejos simpliciales a considerar.

Desgraciadamente, tampoco es suficiente tener un ideal SR generado por 2. Hay numerosos subgrafos de un grafo que impedirán que el complejo de Stanley-Reisner de su ideal de arista sea un complejo de orden. Por ejemplo, si el grafo tiene un ciclo inducido de longitud superior a 7, el complejo no puede surgir como un complejo de orden.

Hace unos meses estuve trabajando en tratar de clasificar las estructuras de los grafos que prohibirían que sus ideales de arista tuvieran complejos SR que fueran complejos de orden, pero encontré que las otras estructuras prohibidas no eran muy fáciles de caracterizar. ¡Me encantaría ver más respuestas a esta pregunta también!

Answer 3

No conozco un nombre para este concepto, pero conozco los nombres de dos conceptos relacionados.

Un complejo simplicial $\Delta$ se llama bandera o camarilla si, siempre que $v_1$ , $v_2$ , ..., $v_r$ es una colección de vértices tal que $(v_i, v_j)$ es una arista de $\Delta$ para todos $1 \leq i < j \leq r$ entonces $(v_1, v_2, \ldots, v_r)$ es una cara de $\Delta$ .

Un complejo simplicial $\Delta$ se llama equilibrado si $\Delta$ es puro de dimensión $d$ y es posible colorear los vértices de $\Delta$ con $d+1$ colores para que ninguna cara contenga dos vértices del mismo color.

Si $\Delta$ es el complejo de orden de un poset entonces es la bandera; si $\Delta$ es el complejo de orden de un poset graduado, entonces está equilibrado.